Question Number 80504 by Rio Michael last updated on 03/Feb/20
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{congruences} \\ $$$${x}\:\equiv\:\mathrm{2}\:\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{3}\right) \\ $$$${x}\:\equiv\:\mathrm{5}\left(\:\mathrm{mod}\:\mathrm{7}\right) \\ $$$$\: \\ $$
Commented by mr W last updated on 03/Feb/20
$${x}=\mathrm{21}{n}+\mathrm{5} \\ $$
Commented by Rio Michael last updated on 03/Feb/20
$${please}\:{check}\:{this}\:{sir}: \\ $$$$\:{x}\:\equiv\:\mathrm{2}\left({mod}\:\mathrm{3}\right)\:\Rightarrow\:{x}\:=\:\mathrm{3}{k}\:+\:\mathrm{2}\: \\ $$$$\mathrm{3}{k}\:+\:\mathrm{2}\:\equiv\:\mathrm{5}\left({mod}\:\mathrm{7}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{3}{k}\:\equiv\:\mathrm{3}\left({mod}\:\mathrm{7}\right)\:{k}\:{has}\:{no}\: \\ $$$${solution}\:{here}\:{sir}! \\ $$$${for}\:{chinese}\:{remainder}\:{theorem} \\ $$$$\:{R}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{7}\:{and}\:{R}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3} \\ $$$$\:\mathrm{7}{X}_{\mathrm{1}} \equiv\:\mathrm{1}\:\left({mod}\:\mathrm{3}\right)\:\Rightarrow\:{X}_{\mathrm{1}} \:\equiv\:\mathrm{1}\:\left({mod}\:\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{3}{X}_{\mathrm{2}} \:\equiv\:\mathrm{1}\:\left({mod}\:\mathrm{7}\right)\:\Rightarrow\:{X}_{\mathrm{2}} \:\equiv\:\mathrm{5}\left({mod}\:\mathrm{7}\right) \\ $$$${x}\:\equiv\:{R}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{1}} {X}_{\mathrm{1}} \:+\:{R}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{2}} {X}_{\mathrm{2}} \left({mod}\:{n}_{\mathrm{1}} {n}_{\mathrm{2}} \right) \\ $$$${x}\:\equiv\:\left(\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}\right)\:+\:\left(\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{5}\right)\:\left({mod}\:\mathrm{21}\right) \\ $$$${x}\:\equiv\:\mathrm{5}\left({mod}\:\mathrm{21}\right) \\ $$$$ \\ $$