Question Number 88423 by abdomathmax last updated on 10/Apr/20
$${solve}\:\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){y}^{''} \:+\sqrt{{x}}{y}^{'} \:={xe}^{−{x}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 12/Apr/20
$${let}\:\:{y}^{'} \:={z}\:\:\:\left({e}\right)\Rightarrow\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){z}^{'} \:+\sqrt{{x}}{z}\:={xe}^{−{x}} \\ $$$$\left({he}\right)\rightarrow\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){z}^{'} \:+\sqrt{{x}}{z}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){z}^{'} \:=−\sqrt{{x}}{z}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{{z}^{'} }{{z}}\:=−\frac{\sqrt{{x}}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\Rightarrow{ln}\mid{z}\mid\:=−\int\:\frac{\sqrt{{x}}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\sqrt{{x}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\right){dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\sqrt{{x}}{dx}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\sqrt{{x}}}{{x}−\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$\int\frac{\sqrt{{x}}}{{x}+\mathrm{1}}{dx}\:=_{\sqrt{{x}}={t}} \:\:\:\int\frac{{t}}{{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left(\mathrm{2}{t}\right){dt}\:=\mathrm{2}\:\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}−\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}{t}−\mathrm{2}{arctant}\:+{c}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}\sqrt{{x}}−\mathrm{2}{arctan}\left(\sqrt{{x}}\right)\:+{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\int\frac{\sqrt{{x}}}{{x}−\mathrm{1}}{dx}\:=_{\sqrt{{x}}={t}} \:\:\int\:\frac{{t}\left(\mathrm{2}{t}\right){dt}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=\mathrm{2}\:\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}{t}+\int\:\frac{\mathrm{2}{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=\mathrm{2}{t}\:+\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{{t}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}\right){dt} \\ $$$$=\mathrm{2}{t}+{ln}\mid\frac{{t}+\mathrm{1}}{{t}−\mathrm{1}}\mid\:+{c}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\sqrt{{x}}\:+{ln}\mid\frac{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}\mid\:+{c}_{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$${ln}\mid{z}\mid\:=\sqrt{{x}}−{artan}\left(\sqrt{{x}}\right)−\sqrt{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\mid\frac{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}\mid\:+{C}\:\Rightarrow \\ $$$${z}\:={K}\:\:\frac{{e}^{−{arctan}\left(\sqrt{{x}}\right)} }{\:\sqrt{\mid\frac{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}\mid}}\:{let}\:{find}\:{solution}\:{on}\left\{\:{x}/\frac{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}>\mathrm{0}\right\} \\ $$$${mvc}\:{method}\:\Rightarrow{z}^{'} \:={K}\:^{'} \:\frac{{e}^{−{arctan}\left(\sqrt{{x}}\right)} }{\:\sqrt{\frac{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}}}\:+{K}\:×\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{e}^{−{arctan}\left(\sqrt{{x}}\right)} −{e}^{−{arctan}\left(\sqrt{{x}}\right)} \frac{\left(\frac{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}\right)^{'} }{\mathrm{2}\sqrt{\frac{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}}}}{\frac{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}} \\ $$$$={K}\:^{'} \:\sqrt{\frac{\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}}{e}^{−{arctan}\left(\sqrt{{x}}\right)} \:+{e}^{−{arctan}\left(\sqrt{{x}}\right)} ×\frac{\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}}}{\:\sqrt{{x}}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}−\left(\frac{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}\right)^{'} }{\mathrm{4}\sqrt{{x}}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\sqrt{\frac{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}}×\frac{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}} \\ $$$$…{be}\:{continued}… \\ $$