Question Number 113278 by mathdave last updated on 12/Sep/20
$${solve} \\ $$$$\int\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}}}}{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} }}{dx} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 13/Sep/20
$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{4}}= \\ $$$$\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{1} \\ $$$$=\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} ,\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{Hence},\mathrm{F}=\int\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}}}}{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} }}{dx} \\ $$$$=\int\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\mathrm{dx}=\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{find}\:\mathrm{J}=\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}=\int\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\left(\frac{−\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\left(\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$==\int\left[\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\right)\right]\mathrm{dx} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{du}}{\:\sqrt{\mathrm{u}}}\left(\mathrm{u}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{Since}\:\int\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\lambda}}=\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\lambda}\mid+\mathrm{C} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\:\sqrt{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid \\ $$$$\mathrm{Therefore},\mathrm{we}\:\mathrm{just}\:\mathrm{need}\:\mathrm{find} \\ $$$$\left.=\int\left(\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}}\right)\right]\mathrm{dx}=\mathrm{A}+\mathrm{B} \\ $$$$\mathrm{A}=\int\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\:−\int\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\:\:\: \\ $$$$\underset{\mathrm{by}\:\mathrm{part}} {=\:\:\:}\frac{−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}}+\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}×\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}}+\int\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}+\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}}+\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{M}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{B}=\int\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\underset{\mathrm{by}\:\mathrm{parts}} {=\:\:\:\:\:}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}− \\ $$$$−\int\left[\mathrm{x}.\frac{.\left(\frac{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right]\mathrm{dx} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\int\frac{−\mathrm{x}−\mathrm{2}}{\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}+\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid+\mathrm{M}\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{M}=\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}=\int\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}×\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}×\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}−\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\left(\frac{\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{ln}\mid\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\mathrm{ln}\mid\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid \\ $$$$=\mathrm{ln}\mid\frac{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\:\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{3}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{A}+\mathrm{B}=−\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}}+\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid \\ $$$$+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid \\ $$$$+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{Therefore},\mathrm{J}=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid \\ $$$$+\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid+ \\ $$$$+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid.\mathrm{From}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{F}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\mathrm{J}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid+ \\ $$$$+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid+\mathrm{C}\left(\mathrm{C}−\mathrm{constant}\right) \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{final}\:\mathrm{result}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{F}=\int\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}}}}{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} }}{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid \\ $$$$+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid+\mathrm{C} \\ $$
Commented by mathdave last updated on 12/Sep/20
$${nice}\:{one} \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 13/Sep/20
$$\mathrm{I}\:\mathrm{like}\:\mathrm{smart}\:\mathrm{Sir}'\mathrm{s}\:\mathrm{solution}\: \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 06/Sep/21
$$\mathrm{grest}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 12/Sep/20
$$\int\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}−\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}}}{{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}{dx}= \\ $$$$=\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} }−\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\:\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\:−\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)}}{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}\right]\right. \\ $$$$=−\mathrm{16}\int\frac{{t}}{\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{t}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }{dt}= \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{3}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}{t}−\mathrm{3}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}{t}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{3}}{\left(\sqrt{\mathrm{3}}{t}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left(\sqrt{\mathrm{3}}{t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\right){dt}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left({t}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{t}−\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{t}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}{t}−\mathrm{3}}= \\ $$$$=\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:{x}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({x}+\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\right)\:+{C} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$ \\ $$$$\int\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}}}}{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} }}{dx}= \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:{x}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({x}+\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\right)\:+{C} \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 06/Sep/21
$$\mathrm{great}\:\mathrm{sir} \\ $$