Question Number 188660 by mr W last updated on 04/Mar/23
$${solve}\:{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}{x}=\mathrm{1} \\ $$
Answered by aba last updated on 04/Mar/23
$$\bullet\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4x}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{4x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\pm\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{2}}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}\:\vee\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\Delta=−\mathrm{2}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}=−\mathrm{2}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)<\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta=−\mathrm{2}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{−\sqrt{\mathrm{2}}\pm\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$
Commented by BaliramKumar last updated on 04/Mar/23
$${answer}\:{is}\:{right}\:{but} \\ $$$${last}\:\mathrm{3}{rd}\:{and}\:\mathrm{4}{th}\:{step}\:{error}\:\left({take}\:\pm\:{value}\:\right) \\ $$
Answered by manxsol last updated on 05/Mar/23
$${x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}−\mathrm{1}=\mathrm{1} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\sqrt{\mathrm{2}}{x}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}{x}+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}{x}+\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$