Question Number 92727 by I want to learn more last updated on 08/May/20
$$\mathrm{Solve}:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{y}} \:\:=\:\:\mathrm{y}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:…….\:\:\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}^{\mathrm{x}} \:\:=\:\:\mathrm{15}^{\mathrm{y}} \:\:\:\:……\:\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}\:\:\neq\:\:\mathrm{y},\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x},\:\:\mathrm{y}\:\in\:\mathbb{R} \\ $$
Answered by mr W last updated on 08/May/20
$${x}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{3}={y}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{15} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{x}}{{y}}=\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{15}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{5}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}={k} \\ $$$${y}\:\mathrm{ln}\:{x}={x}\:\mathrm{ln}\:{y} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{x}}{{y}}=\frac{\mathrm{ln}\:{x}}{\mathrm{ln}\:{y}} \\ $$$${k}=\frac{\mathrm{ln}\:{k}+\mathrm{ln}\:{y}}{\mathrm{ln}\:{y}}=\frac{\mathrm{ln}\:{k}}{\mathrm{ln}\:{y}}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\:{y}=\frac{\mathrm{ln}\:{k}}{{k}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow{y}={e}^{\frac{\mathrm{ln}\:{k}}{{k}−\mathrm{1}}} ={e}^{\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{5}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}\right)}{\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{5}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}}} ={e}^{\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{5}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{5}}} =\mathrm{1}.\mathrm{8512} \\ $$$$\Rightarrow{x}={ky}=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{5}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}\right){e}^{\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{5}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{5}}} =\mathrm{4}.\mathrm{5632} \\ $$
Commented by I want to learn more last updated on 08/May/20
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{sir} \\ $$