Question Number 95693 by mathmax by abdo last updated on 27/May/20
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{y}^{''} −\mathrm{2y}^{'} \:+\mathrm{1}\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{shx} \\ $$
Answered by abdomathmax last updated on 29/May/20
$$\left(\mathrm{he}\right)\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2r}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{r}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:=\mathrm{a}\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} =\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ^{'} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{'} }\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{xe}^{\mathrm{2x}} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:=−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\\{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{shx}\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{shx} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{shx}}\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)}{−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{but}\:\int\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{−\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:−\int\:\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}\:} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }{\mathrm{2}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{shx}}{−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\:=\int\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}\:} −\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \right)\mathrm{dx}\:….\left(\mathrm{eazy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}\:} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$$$ \\ $$