Question Number 146260 by mathmax by abdo last updated on 12/Jul/21
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{y}^{''} −\mathrm{2y}^{'} \:+\mathrm{y}\:=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sinx} \\ $$
Answered by qaz last updated on 12/Jul/21
$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2D}+\mathrm{1}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \int\int\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{xdxdx} \\ $$$$…… \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{25}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{4cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$−−−−−−−−−− \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{D}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \frac{\left(\mathrm{D}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \frac{−\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4D}+\mathrm{4}}{\left(−\mathrm{1}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{25}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{4cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{25}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{4cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}\right) \\ $$