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solve-y-2y-y-e-x-x-

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Question Number 103995 by mathmax by abdo last updated on 18/Jul/20
solve y^(′′) +2y^′ −y =(e^(−x) /x)
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{y}^{''} +\mathrm{2y}^{'} −\mathrm{y}\:=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 20/Jul/20
h→r^2 +2r−1 =0 →Δ^′ =1+1=2 ⇒r_1 =−1+(√2) and r_2 =−1−(√2) ⇒ y_h =ae^((−1+(√2))x) )+b e^((−1−(√2))x) =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((e^((−1+(√2))x) e^((−1−(√2))x) )),(((−1+(√2))e^((−1+(√2))x) (−1−(√2)) e^((−1−(√2))x) ))) =(−1−(√2))e^(−2x) −(−1+(√2))e^(−2x) =−2(√2)e^(−2x) W_1 = determinant (((o e^((−1−(√2))x) )),(((e^(−x) /x) (−1−(√2))e^((−1−(√2))x) ))) =−(e^(−x) /x) e^((−1−(√2))x) =−(1/x)e^((−2−(√2))x) W_2 = determinant (((e^((−1+(√2))x) 0)),(((−1+(√2))e^x (e^(−x) /x))))=(1/x) e^((−2+(√2))x) v_1 =∫ (w_1 /w)dx =−∫ (e^((−2+(√2))x) /(−2(√2)x e^(−2x) ))dx =(1/(2(√2))) ∫ (e^((√2)x) /x)dx v_2 =∫ (w_2 /w)dx =−(1/(2(√2)))∫ (e^((−2+(√2))x) /(x e^(−2x) ))dx =−(1/(2(√2)))∫ (e^((√2)x) /x)dx ⇒ y_p = u_1 v_1 +u_2 v_2 =(1/(2(√2)))e^((−1+(√2))x) ∫ (e^(x(√2)) /x)dx −(1/(2(√2)))e^((−1−(√2))x) ∫ (e^(x(√2)) /x)dx =(e^(−x) /( (√2))){((e^(x(√2)) −e^(−x(√2)) )/2)}∫ (e^(x(√2)) /2)dx =(e^(−x) /( (√2)))sh(x(√2))∫ (e^(x(√2)) /x)dx the general solution is y =y_h +y_p ⇒y =a e^((−1+(√2))x) +b e^((−1−(√2))x) + (e^(−x) /( (√2)))sh(x(√2))∫ (e^(x(√2)) /x)dx
$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2r}−\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\left.\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{ae}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:\right)+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:\:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} }\\{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:\:\:\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} }\end{vmatrix} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} −\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} }\\{\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}}\:\:\:\:\:\:\:\:\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} }\end{vmatrix}\:=−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{x}}}\end{vmatrix}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} }{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}} }{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} }{\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}} }{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\:\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:\:\:\int\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}}} }{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \int\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}}} }{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}}} }{\mathrm{2}}\right\}\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}}} }{\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}}} }{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\:=\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:+\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}}} }{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$

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