Question Number 123593 by Bird last updated on 26/Nov/20
$${solve}\:{y}^{''} \:+\mathrm{2}{y}^{'} \:−{y}={xe}^{−{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Nov/20
$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2r}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{ae}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}\:} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} +\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} }\\{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \:\:\:\:\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)} }\end{vmatrix} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} }\\{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:\:\:\:\:\:\:\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:\:\:\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} }{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\int\:\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} }{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\int\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{general}\:\mathrm{soution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} +\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$