solve-y-y-tanx-

Question Number 111011 by mohammad17 last updated on 01/Sep/20

$${solve}:\:{y}^{''} +{y}^{'} ={tanx} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 01/Sep/20

h)→r^2 +r =0 ⇒r(r+1) =0⇒r=0 or r=−1 ⇒y(x)=ae^(−x) +b =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((e^(−x) 1)),((−e^(−x) 0)))=e^(−x) ≠0 W_1 = determinant (((0 1)),((tanx 0)))=−tanx W_2 = determinant (((e^(−x) 0)),((−e^(−x) tanx)))=e^(−x) tanx V_1 =∫ (w_1 /w)dx =∫ ((−tanx)/e^(−x) ) =−∫ e^(−x) tanx dx V_2 =∫ (w_2 /w)dx =∫ ((e^(−x) tanx)/e^(−x) ) dx =∫ tanx dx =∫((sinx)/(cosx)) dx =−ln∣cosx∣ ⇒y_h =u_1 v_1 +u_2 v_2 =−e^(−x) ∫ e^(−x) tanx dx−ln∣cosx∣ general solution is y =y_h +y_p =ae^(−x) +b −e^(−x) ∫ e^(−x) tanxdx−ln∣cosx∣

$$\left.\mathrm{h}\right)\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{r}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}\left(\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{r}=\mathrm{0}\:\mathrm{or}\:\mathrm{r}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ae}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{b} \\ $$$$=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\mathrm{0}}\end{vmatrix}=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{\mathrm{tanx}\:\:\mathrm{0}}\end{vmatrix}=−\mathrm{tanx} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\mathrm{tanx}}\end{vmatrix}=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{tanx} \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{−\mathrm{tanx}}{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\:=−\int\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{tanx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{tanx}}{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\:\mathrm{dx}\:=\int\:\mathrm{tanx}\:\mathrm{dx}\:=\int\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}}\:\mathrm{dx}\:=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{cosx}\mid \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \int\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{tanx}\:\mathrm{dx}−\mathrm{ln}\mid\mathrm{cosx}\mid \\ $$$$\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{ae}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{b}\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \int\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{tanxdx}−\mathrm{ln}\mid\mathrm{cosx}\mid \\ $$

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