Question Number 97797 by abdomathmax last updated on 09/Jun/20
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{y}^{''} \:−\mathrm{y}\:=\:\mathrm{x} \\ $$
Answered by niroj last updated on 09/Jun/20
$$\:\mathrm{y}^{''} −\mathrm{y}\:=\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}=\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:{A}.{E}.,\mathrm{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{m}=\overset{−} {+}\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\mathrm{C}{F}=\:\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:,\:\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} ,\:\mathrm{Q}=\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\mathrm{W}=\:\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{W}=\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} .\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} .\mathrm{e}^{\mathrm{x}} =−\mathrm{2} \\ $$$$\:\mathrm{PI}=\:−\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \int\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \mathrm{Q}}{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:+\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \int\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{Q}}{\mathrm{W}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:=\:−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \int\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{x}}{−\mathrm{2}}\mathrm{dx}+\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \int\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{x}}{−\mathrm{2}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{x}.\left(−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)−\int\mathrm{1}.\left(−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx}\right\}−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\int\mathrm{1}.\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left(−\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left(\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right) \\ $$$$=\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\mathrm{xe}^{\mathrm{x}−\mathrm{x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{xe}^{\mathrm{x}−\mathrm{x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{x}−\mathrm{x}} \right) \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{2x}\right)=\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{x} \\ $$$$\:\therefore\:\mathrm{y}=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{x}\://. \\ $$$$\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jun/20
$$\left(\mathrm{he}\right)\rightarrow\mathrm{y}^{''} −\mathrm{y}\:=\mathrm{0}\:\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}\:=\overset{−} {+}\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\beta\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:=\alpha\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:+\beta\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ^{'} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{'} }\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}}\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{−\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} }{−\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{−\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:+\int\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} }{−\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right\}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{x}\:\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \:=\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\beta\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:−\mathrm{x} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Jun/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{it}\:\mathrm{by}\:\mathrm{laplace}\: \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{''} \right)−\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{xy}\left(\mathrm{o}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{xy}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\left[−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{x}}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \right]_{\mathrm{t}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left[\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \right]_{\mathrm{t}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left(\mathrm{also}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{use}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right)\:=\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)\:\mathrm{e}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{xy}\left(\mathrm{o}\right)+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\:+\frac{\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right) \\ $$$$+\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{havef}\left(\mathrm{x}\right)\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{f}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\Rightarrow\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{g}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{b}\:=−\mathrm{1}\:\:,\:\:\mathrm{c}\:=\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xh}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{a}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{h}\right)\:=−\mathrm{1}−\mathrm{x}\:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\left\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\right\}\:+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\left\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\right\}\:−\mathrm{1}\:−\mathrm{x}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:+\left(\frac{\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{x}−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$