Question Number 19215 by Tinkutara last updated on 07/Aug/17
$$\mathrm{STATEMENT}-\mathrm{1}\::\:\mathrm{For}\:\mathrm{every}\:\mathrm{natural} \\ $$$$\mathrm{number}\:{n}\:\geqslant\:\mathrm{2},\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:+\:…..\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}}}\:>\:\sqrt{{n}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{and}} \\ $$$$\mathrm{STATEMENT}-\mathrm{2}\::\:\mathrm{For}\:\mathrm{every}\:\mathrm{natural} \\ $$$$\mathrm{number}\:{n}\:\geqslant\:\mathrm{2},\:\sqrt{{n}\left({n}\:+\:\mathrm{1}\right)}\:<\:{n}\:+\:\mathrm{1} \\ $$
Answered by 433 last updated on 07/Aug/17
$$ \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{n}>\mathrm{a}\:\left(\mathrm{a}=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},…,\mathrm{n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\sqrt{\mathrm{n}}>\sqrt{\mathrm{a}}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}<\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}>\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}=\frac{\mathrm{n}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}=\sqrt{\mathrm{n}} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{n}+\mathrm{1}>\mathrm{n}\overset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {\Rightarrow}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)>\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\Rightarrow\sqrt{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}>\sqrt{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}<\sqrt{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}<\mid\mathrm{n}+\mathrm{1}\mid\overset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {=}\mathrm{n}+\mathrm{1} \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 07/Aug/17
$$\mathrm{But}\:\mathrm{is}\:\mathrm{2}\:\mathrm{correct}\:\mathrm{explanation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{1}? \\ $$