Question Number 56828 by maxmathsup by imad last updated on 24/Mar/19
$${study}\:{the}\:{convergence}\:{of}\:{u}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{u}_{{n}} ^{\mathrm{2}} }−{u}_{{n}} −\mathrm{1}\:\:\:\:{with}\:{u}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 16/Apr/19
$${we}\:{have}\:{u}_{{n}+\mathrm{1}} ={f}\left({u}_{{n}} \right)\:{withf}\left({x}\right)=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }−{x}−\mathrm{1} \\ $$$${let}\:{prove}\:{that}\:{u}_{{n}} >\mathrm{0}\:\:\:{we}\:{have}\:{u}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}−\mathrm{1}=\mathrm{1}>\mathrm{0}\:{let}\:{suppose}\:{u}_{{n}} >\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{u}_{{n}} ^{\mathrm{2}} }−{u}_{{n}} −\mathrm{1}\:=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{u}_{{n}} ^{\mathrm{2}} }\:−\left({u}_{{n}} \:+\mathrm{1}\right)\:\:{and}\:\mathrm{4}\left(\mathrm{1}+{u}_{{n}} ^{\mathrm{2}} \right)−\left({u}_{{n}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{4}{u}_{{n}} ^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\:−{u}_{{n}} ^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2}{u}_{{n}} −\mathrm{1}\:=\mathrm{2}{u}_{{n}} ^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2}{u}_{{n}} \:+\mathrm{3}\:\rightarrow\Delta\:=\mathrm{4}−\mathrm{4}\left(\mathrm{2}\right).\mathrm{3}\:<\mathrm{0}\:\:\:\left({a}=\mathrm{2}\:>\mathrm{0}\right)\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}{u}_{{n}} ^{\mathrm{2}} −{u}_{{n}} +\mathrm{3}\:\:\:{for}\:{that}\:{let}\:{study}\:{the}\:{variation}\:{of}\:{f}\:{on}\left[\mathrm{0},+\infty\left[\right.\right. \\ $$$$\left.{f}^{'} \left({x}\right)\:=\mathrm{2}\:\frac{\mathrm{2}{x}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{2}{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{2}{x}−\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:=\frac{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }\right.}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}\:+\sqrt{\left.\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}\right.}}\:{so}\:{f}^{'} \left({x}\right)=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:{x}\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$${f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:−\mathrm{1}\:=\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\: \\ $$$${x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$${f}^{'} \left({x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+ \\ $$$${f}\left({x}\right)\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:{decr}\:\:\:\:\:\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{incr}\:\:\:\:+\infty \\ $$$${let}\:{determine}\:\:{the}\:{fixed}\:\:{point}\:\: \\ $$$${f}\left({x}\right)\:={x}\:\:\Rightarrow\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }\:−{x}−\mathrm{1}\:={x}\:\Rightarrow\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{4}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)\:=\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}{x}\:+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{4}\:=\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{4}{x}\:=\mathrm{3}\:\Rightarrow{x}\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:\:{f}\:{is}\:{continue}\:{on}\:\left[\mathrm{0},+\infty\left[\:{so}\:\left({u}_{{n}} \right){converges}\:{and}\right.\right. \\ $$$${lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{u}_{{n}} =\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:. \\ $$
Answered by kaivan.ahmadi last updated on 25/Mar/19
$${l}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{l}^{\mathrm{2}} }−{l}−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{2}{l}+\mathrm{1}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{l}^{\mathrm{2}} }\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{4}{l}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{l}+\mathrm{1}=\mathrm{4}+\mathrm{4}{l}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{4}{l}=\mathrm{3}\Rightarrow{l}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$