Question Number 122608 by bramlexs22 last updated on 18/Nov/20
$$\:{Sum}\:{the}\:{series}\:{to}\:\mathrm{10}^{{th}} \:{terms}\: \\ $$$$\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\sqrt{{x}}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}}\:+… \\ $$$${equal}\:{to}\:\_\_\_\: \\ $$
Answered by liberty last updated on 18/Nov/20
$$\:\mathrm{T}_{\mathrm{1}} \:=\:\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:;\:\mathrm{T}_{\mathrm{2}} =\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:;\:\mathrm{T}_{\mathrm{3}} =\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$$$\:\mathrm{check}\:\begin{cases}{\mathrm{T}_{\mathrm{2}} −\mathrm{T}_{\mathrm{1}} =\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}\\{\mathrm{T}_{\mathrm{3}} −\mathrm{T}_{\mathrm{2}} =\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}\end{cases}\:.\:\mathrm{it}\:\mathrm{follows} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{AP}\:,\:\mathrm{so}\:\mathrm{S}_{\mathrm{10}} =\:\mathrm{5}\left(\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:+\:\frac{\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\:\mathrm{S}_{\mathrm{10}} \:=\:\mathrm{5}\left(\frac{\mathrm{2}+\mathrm{7}\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{10}+\mathrm{35}\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$