Question Number 36217 by Rio Mike last updated on 30/May/18
$$\mathrm{Suppose}\:{a}_{\mathrm{1}} ,…,{a}_{{n}} ,\mathrm{are}\:\mathrm{non}−\mathrm{negative} \\ $$$$\mathrm{reals}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:{S}=\:{a}_{\mathrm{1}} +…+{a}_{{n}} < \\ $$$${proof}\:{that}\: \\ $$$$\mathrm{1}\:+\:\mathrm{S}\leqslant\:\left(\mathrm{1}\:+\:{a}_{\mathrm{1}} \right)._{…} .\left(\mathrm{1}+\:{a}_{{n}} \right)\:\leqslant\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{s}} \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 31/May/18
$$\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} >\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{3}} \right)>\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} \\ $$$$….. \\ $$$$…..\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{2}} \right)….\left(\mathrm{1}+{a}_{{n}} \right)>\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +..+{a}_{{n}} \\ $$$${when}\:{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{3}} +…+{a}_{{n}} ={S} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{2}} \right)..\left(\mathrm{1}+{a}_{{n}} \right)>\mathrm{1}+{S}\:{proved} \\ $$$${contd} \\ $$$${let}\:{s}_{\mathrm{2}} ={a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}+{s}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{a}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}−{a}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{1}−\left({a}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} \right)+{a}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}−{s}_{\mathrm{2}} +{a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{1}+{s}_{\mathrm{2}} >\mathrm{1}−{s}_{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$${wait}\:{pls} \\ $$