Question Number 89768 by john santu last updated on 19/Apr/20
$${t}\left({n}\right)\:−\:{t}\left({n}−\mathrm{1}\right)\:=\:{n}\:\: \\ $$$${for}\:{n}\:>\:\mathrm{0}\:{and}\:{t}\left(\mathrm{0}\right)\:=\:\mathrm{1}\: \\ $$$${find}\:{t}\left({n}\right)\: \\ $$
Answered by john santu last updated on 19/Apr/20
Answered by mr W last updated on 19/Apr/20
$${t}\left({k}\right)−{t}\left({k}−\mathrm{1}\right)={k} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{t}\left({k}\right)−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{t}\left({k}−\mathrm{1}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{t}\left({k}\right)−\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{t}\left({k}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{t}\left({k}\right)+{t}\left({n}\right)−{t}\left(\mathrm{0}\right)−\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{t}\left({k}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k} \\ $$$${t}\left({n}\right)−{t}\left(\mathrm{0}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$${t}\left({n}\right)={t}\left(\mathrm{0}\right)+\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{t}\left({n}\right)=\mathrm{1}+\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$