Question Number 192537 by cortano12 last updated on 20/May/23
$$\:\begin{cases}{\mathrm{tan}\:\left(\alpha+\mathrm{2}\beta\right)=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}}}\\{\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\alpha+\beta\right)\left\{\mathrm{1}+\mathrm{k}\:\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \beta\right\}=\mathrm{k}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \beta}\end{cases} \\ $$$$\:\mathrm{Find}\:\mathrm{cot}\:\mathrm{2}\beta\:. \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 20/May/23
![tan [(α+β)+β]=(√(1+2k)) • ((tan (α+β)+tan β)/(1−tan (α+β)tan β))=(√(1+2k)) (1) 2•tan^2 (α+β)=((k+tan^2 β)/(1+ktan^2 β)) (2) (1)⇔ tan (α+β)+tan β=(√(1+2k)) −tan βtan (α+β)(√(1+2k )) tan (α+β)+((√(1+2k)) )tan β×tan (α+β) =(√(1+2k)) −tan β tan (α+β)=(((√(1+2k)) −tan β)/(1+tan β(√(1+2k )))) (3) tan^2 (α+β)=((k+tan^2 β)/(1+ktan^2 β)) (4) posons y=tan (𝛂+β) x=tan 𝛃 { ((y=(((√(1+2k)) −x)/(1+x(√(1+2k)))) )),((y^2 =((k+x^2 )/(1+kx^2 )))) :} ⇒ ((1+2k+x^2 −2x(√(1+2k)))/(1+x^2 (1+2k)+2x(√(1+2k))))=((k+x^2 )/(1+kx^2 )) 1+2k+x^2 −2x(√(1+2k)) + kx^2 +2k^2 x^2 +kx^4 −(2k(√(1+2k)) ) x^3 = =kx^4 −2k((√(1+2k)) )x^3 +(2k^2 +k+1)x^2 −2x(√(1+2k)) +2k+1 =k+(1+2k)kx^2 +2kx(√(1+2k)) + x^2 +(1+2k)x^4 +2x^3 (√(1+2k)) =(1+2k)x^4 +2(√(1+2k)) x^3 +(1+k+2k^2 )x^2 +2k(√(1+2k)) x+k ⇒(1+k)x^4 +2(1+k)(√(1+2k)) )x^3 +2(k+1)(√(1+2k)) x−(k+1)=0 x^4 +2(√(1+2k)) x^3 +2x(√(1+2k)) −1=0 (x^2 +x(√(1+2k)) )^2 −[x^2 (1+2k)−2x(√(1+2k))) +1]=0 x^2 (x+(√(1+2k)) )^2 −[(x(√(1+2k)) )−1]^2 =0 ⇒x(x+(√(1+2k)) )=1−x(√(1+2k)) x^2 +2x(√(1+2k)) −1=0 (x+(√(1+2k)) )^2 =2(1+k) x=(√(2(1+k))) −(√(1+2k)) ⇒tan 𝛃=(√(2(1+k))) −(√(1+2k)) ⇒tan 2𝛃=((2tan 𝛃)/(1−tan^2 𝛃)) =((2((√(2(1+k))) −(√(1+2k)) ))/(1−[4k+3−2(√(2(1+k)(1+2k))))) cot 𝛃=((2(√(2(1+k)(1+2k))) −(4k+2))/(2((√(2(1+k))) −(√(1+2k)) ))) cot 𝛃=(((√(2(1+k)(1+2k)) )−(2k+1))/( (√(2(1+k))) −(√(1+2k)))) = (((1+2k)((√(2(1+k))) −(√(2k+1)) +(√(1+2k)) ))/1) conclusion: cot 𝛃=(1+2k)(√(2(1+k))) { (),() :}](https://www.tinkutara.com/question/Q192558.png)
$$\:\:\:\:\mathrm{tan}\:\left[\left(\alpha+\beta\right)+\beta\right]=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\bullet\:\:\:\frac{\mathrm{tan}\:\left(\alpha+\beta\right)+\mathrm{tan}\:\beta}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\left(\alpha+\beta\right)\mathrm{tan}\:\beta}=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}}\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\mathrm{2}\bullet\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\alpha+\beta\right)=\frac{\mathrm{k}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \beta}{\mathrm{1}+\mathrm{ktan}\:^{\mathrm{2}} \beta}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\:\mathrm{tan}\:\left(\alpha+\beta\right)+\mathrm{tan}\:\beta=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}}\:−\mathrm{tan}\:\beta\mathrm{tan}\:\left(\alpha+\beta\right)\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}\:}\: \\ $$$$\mathrm{tan}\:\left(\alpha+\beta\right)+\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}}\:\right)\mathrm{tan}\:\beta×\mathrm{tan}\:\left(\alpha+\beta\right) \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}}\:−\mathrm{tan}\:\beta \\ $$$$\mathrm{tan}\:\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}}\:\:−\mathrm{tan}\:\beta}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\beta\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}\:}}\:\:\:\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \left(\alpha+\beta\right)=\frac{\mathrm{k}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \beta}{\mathrm{1}+\mathrm{ktan}\:^{\mathrm{2}} \beta}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{posons}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}=\mathrm{tan}\:\left(\boldsymbol{\alpha}+\beta\right)\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\mathrm{tan}\:\boldsymbol{\beta} \\ $$$$\:\:\:\begin{cases}{\boldsymbol{\mathrm{y}}=\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\:\:−\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}}\:}\\{\boldsymbol{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}} =\frac{\boldsymbol{\mathrm{k}}+\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{kx}}^{\mathrm{2}} }}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}+\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}}=\frac{\boldsymbol{\mathrm{k}}+\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{kx}}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}+\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:+ \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{kx}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{kx}}^{\mathrm{4}} −\left(\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\:\right)\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} = \\ $$$$ \\ $$$$=\boldsymbol{\mathrm{kx}}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\right)\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}\right)\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:−\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\:\: \\ $$$$=\boldsymbol{\mathrm{k}}+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)\boldsymbol{\mathrm{kx}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{kx}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:+ \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\: \\ $$$$ \\ $$$$=\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}^{\mathrm{2}} \right)\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}+\boldsymbol{\mathrm{k}} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\right)\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}\left(\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}−\left(\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\right)^{\mathrm{2}} −\left[\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)−\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}\sqrt{\left.\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)}\:+\mathrm{1}\right]=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \left(\boldsymbol{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\right)^{\mathrm{2}} −\left[\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\right)−\mathrm{1}\right]^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{\mathrm{x}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\right)=\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\: \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{k}}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)}\:\:−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:\boldsymbol{\beta}=\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{k}\right)}\:−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}}\: \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:\mathrm{2}\boldsymbol{\beta}=\frac{\mathrm{2tan}\:\boldsymbol{\beta}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\beta}}\:\:=\frac{\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{k}\right)}\:−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}}\:\right)}{\mathrm{1}−\left[\mathrm{4k}+\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{k}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2k}\right)}\right.} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{cot}\:\boldsymbol{\beta}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{k}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2k}\right)}\:−\left(\mathrm{4k}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{k}\right)}\:−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}}\:\right)} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\mathrm{cot}\:\boldsymbol{\beta}=\frac{\left.\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{k}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2k}\right.}\:\right)−\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{k}\right)}\:−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2k}}}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)\left(\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)}\:−\sqrt{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}}\:\right)}{\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{conclusion}}: \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{cot}}\:\boldsymbol{\beta}=\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{k}}\right)} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\begin{cases}{}\\{}\end{cases} \\ $$