Question Number 129946 by bemath last updated on 21/Jan/21
$$\:\int\:\frac{\mathrm{tan}\:\varphi+\mathrm{3}}{\mathrm{sin}\:\varphi}\:\mathrm{d}\varphi\:? \\ $$
Answered by liberty last updated on 21/Jan/21
$$\:\mathrm{T}\:=\:\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\varphi}\:+\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{sin}\:\varphi}\right)\mathrm{d}\varphi \\ $$$$\:\mathrm{T}=\:\int\:\left(\mathrm{sec}\:\varphi+\mathrm{3csc}\:\varphi\right)\:\mathrm{d}\varphi\: \\ $$$$\:\mathrm{T}\:=\:\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:\varphi+\mathrm{tan}\:\varphi\mid−\mathrm{3ln}\:\mid\mathrm{cot}\:\varphi+\mathrm{csc}\:\varphi\mid\:+\:\mathrm{c} \\ $$$$\:\mathrm{T}=\:\mathrm{ln}\:\mid\frac{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\varphi}{\mathrm{cos}\:\varphi}\mid−\mathrm{3ln}\:\mid\frac{\mathrm{cos}\:\varphi+\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\varphi}\mid+\mathrm{c} \\ $$$$ \\ $$