Question Number 17420 by sushmitak last updated on 05/Jul/17
$$\mathrm{tan}^{\mathrm{6}} \frac{\pi}{\mathrm{9}}−\mathrm{33tan}^{\mathrm{4}} \frac{\pi}{\mathrm{9}}+\mathrm{27tan}^{\mathrm{2}} \frac{\pi}{\mathrm{9}}=? \\ $$
Answered by Tinkutara last updated on 05/Jul/17
$$\mathrm{tan}\:\mathrm{3}\left(\frac{\pi}{\mathrm{9}}\right)\:=\:\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}}\:=\:\frac{\mathrm{3}\:\mathrm{tan}\:\frac{\pi}{\mathrm{9}}\:−\:\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \:\frac{\pi}{\mathrm{9}}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{3}\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\frac{\pi}{\mathrm{9}}} \\ $$$$\mathrm{3}\left(\mathrm{1}\:+\:\mathrm{9}\:\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:\frac{\pi}{\mathrm{9}}\:−\:\mathrm{6}\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\frac{\pi}{\mathrm{9}}\right)\:= \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\frac{\pi}{\mathrm{9}}\:\left(\mathrm{9}\:+\:\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:\frac{\pi}{\mathrm{9}}\:−\:\mathrm{6}\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\frac{\pi}{\mathrm{9}}\right) \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{rearranging},\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{6}} \:\frac{\pi}{\mathrm{9}}\:−\:\mathrm{33}\:\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:\frac{\pi}{\mathrm{9}}\:+\:\mathrm{27}\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\frac{\pi}{\mathrm{9}}\:=\:\mathrm{3} \\ $$