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tan3x-5tanx-x-

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Question Number 164720 by mathlove last updated on 21/Jan/22
tan3x=5tanx x=?
$${tan}\mathrm{3}{x}=\mathrm{5}{tanx} \\ $$$${x}=? \\ $$
Answered by leonhard77 last updated on 21/Jan/22
tan 3x=((3tan x−tan^3 x)/(1−3tan^2 x)) = 5tan x ⇒tan x(((3−tan^2 x)/(1−3tan^2 x))−5)=0 ⇒tan x=0 , x=nπ ⇒((3−tan^2 x−5+15tan^2 x)/(1−3tan^2 x))=0 ⇒14tan^2 x=2 ⇒tan^2 x=(1/7)
$$\:\mathrm{tan}\:\mathrm{3}{x}=\frac{\mathrm{3tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} {x}}{\mathrm{1}−\mathrm{3tan}\:^{\mathrm{2}} {x}}\:=\:\mathrm{5tan}\:{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:{x}\left(\frac{\mathrm{3}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {x}}{\mathrm{1}−\mathrm{3tan}\:^{\mathrm{2}} {x}}−\mathrm{5}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:{x}=\mathrm{0}\:,\:{x}={n}\pi \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{3}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{5}+\mathrm{15tan}\:^{\mathrm{2}} {x}}{\mathrm{1}−\mathrm{3tan}\:^{\mathrm{2}} {x}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{14tan}\:^{\mathrm{2}} {x}=\mathrm{2}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}} \\ $$
Answered by mr W last updated on 21/Jan/22
((tan 2x+tan x)/(1−tan 2x tan x))=5 tan x ((((2 tan x)/(1−tan^2 x))+tan x)/(1−((2 tan x)/(1−tan^2 x)) tan x))=5 tan x ⇒tan x=0 ⇒x=kπ (((2/(1−tan^2 x))+1)/(1−((2 tan^2 x)/(1−tan^2 x))))=5 ((3−tan^2 x)/(1−3 tan^2 x))=5 tan^2 x=(1/7) tan x=±((√7)/7) ⇒x=kπ±tan^(−1) ((√7)/7)
$$\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{tan}\:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\mathrm{2}{x}\:\mathrm{tan}\:{x}}=\mathrm{5}\:\mathrm{tan}\:{x} \\ $$$$\frac{\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{tan}\:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}+\mathrm{tan}\:{x}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{tan}\:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}\:\mathrm{tan}\:{x}}=\mathrm{5}\:\mathrm{tan}\:{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:{x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{x}={k}\pi \\ $$$$\frac{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}}=\mathrm{5} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{3}\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{x}=\pm\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{7}} \\ $$$$\Rightarrow{x}={k}\pi\pm\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{7}} \\ $$

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