Question Number 164720 by mathlove last updated on 21/Jan/22
$${tan}\mathrm{3}{x}=\mathrm{5}{tanx} \\ $$$${x}=? \\ $$
Answered by leonhard77 last updated on 21/Jan/22
$$\:\mathrm{tan}\:\mathrm{3}{x}=\frac{\mathrm{3tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} {x}}{\mathrm{1}−\mathrm{3tan}\:^{\mathrm{2}} {x}}\:=\:\mathrm{5tan}\:{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:{x}\left(\frac{\mathrm{3}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {x}}{\mathrm{1}−\mathrm{3tan}\:^{\mathrm{2}} {x}}−\mathrm{5}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:{x}=\mathrm{0}\:,\:{x}={n}\pi \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{3}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{5}+\mathrm{15tan}\:^{\mathrm{2}} {x}}{\mathrm{1}−\mathrm{3tan}\:^{\mathrm{2}} {x}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{14tan}\:^{\mathrm{2}} {x}=\mathrm{2}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}} \\ $$
Answered by mr W last updated on 21/Jan/22
$$\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{tan}\:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\mathrm{2}{x}\:\mathrm{tan}\:{x}}=\mathrm{5}\:\mathrm{tan}\:{x} \\ $$$$\frac{\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{tan}\:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}+\mathrm{tan}\:{x}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{tan}\:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}\:\mathrm{tan}\:{x}}=\mathrm{5}\:\mathrm{tan}\:{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:{x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{x}={k}\pi \\ $$$$\frac{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}}=\mathrm{5} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{3}\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{x}=\pm\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{7}} \\ $$$$\Rightarrow{x}={k}\pi\pm\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{7}} \\ $$