Question Number 93959 by mashallah last updated on 16/May/20
$$\int\left(\mathrm{tan3x}+\mathrm{sec3x}\right)\mathrm{dx}= \\ $$
Answered by john santu last updated on 16/May/20
$$\int\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}}\:\mathrm{dx}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\:\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\right)}{\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}} \\ $$$$=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\mid\: \\ $$$$\int\:\mathrm{sec}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{dx}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\:\mathrm{sec}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{d}\left(\mathrm{3x}\right) \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:\mathrm{3x}\:+\:\mathrm{tan}\:\mathrm{3x}\:\mid\: \\ $$$$\therefore\:\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\mid\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{sec}\:\mathrm{3x}+\mathrm{tan}\:\mathrm{3x}\mid\:+\:\mathrm{c} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{\mathrm{sec}\:\mathrm{3x}+\mathrm{tan}\:\mathrm{3x}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}}\mid\:+\:\mathrm{c}\: \\ $$$$ \\ $$