Question Number 124093 by Don08q last updated on 30/Nov/20
$$\mathrm{The}\:\mathrm{7}{th}\:\mathrm{term}\:\mathrm{of}\:\mathrm{an}\:\mathrm{A}.\mathrm{P}.\:\mathrm{is}\:\mathrm{3}{p}\:+\:\mathrm{5}{q}\:\: \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{18}{th}\:\mathrm{term}\:\mathrm{is}\:\mathrm{19}\left(\mathrm{2}{q}\:−\:{p}\right).\:\mathrm{Find} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{first}\:{three}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}. \\ $$
Answered by liberty last updated on 30/Nov/20
$${T}_{\mathrm{7}} \:=\:\mathrm{3}{p}+\mathrm{5}{q}\:;\:{T}_{\mathrm{18}} =\:\mathrm{38}{q}−\mathrm{19}{p}\: \\ $$$${d}\:=\:\frac{{T}_{\mathrm{18}} −{T}_{\mathrm{7}} }{\mathrm{18}−\mathrm{7}}\:=\:\frac{\mathrm{38}{q}−\mathrm{19}{p}−\mathrm{3}{p}−\mathrm{5}{q}}{\mathrm{11}}=\frac{\mathrm{33}{q}−\mathrm{22}{p}}{\mathrm{11}}=\mathrm{3}{q}−\mathrm{2}{p} \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} \:=\:{T}_{\mathrm{7}} +\left(\mathrm{1}−\mathrm{7}\right){d}\:=\:\mathrm{3}{p}+\mathrm{5}{q}−\mathrm{6}\left(\mathrm{3}{q}−\mathrm{2}{p}\right) \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\:\mathrm{3}{p}+\mathrm{5}{q}+\mathrm{12}{p}−\mathrm{18}{q}\:=\:\mathrm{15}{p}−\mathrm{13}{q} \\ $$$${The}\:{first}\:{three}\:{terms}\:{of}\:{the}\:{sequence}\: \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\:\mathrm{15}{p}−\mathrm{13}{q} \\ $$$${T}_{\mathrm{2}} =\:\mathrm{15}{p}−\mathrm{13}{q}+\mathrm{3}{q}−\mathrm{2}{p}=\mathrm{13}{p}−\mathrm{10}{q}\: \\ $$$${T}_{\mathrm{3}} =\mathrm{13}{p}−\mathrm{10}{q}+\mathrm{3}{q}−\mathrm{2}{p}=\mathrm{11}{p}−\mathrm{7}{q}\: \\ $$