Question Number 18093 by Tinkutara last updated on 15/Jul/17
$$\mathrm{The}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{sin}{x}\:+\:\mathrm{sin2}{x}\:+\:\mathrm{2sin}{x}\mathrm{sin2}{x} \\ $$$$=\:\mathrm{2cos}{x}\:+\:\mathrm{cos2}{x}\:\mathrm{is}\:\mathrm{satisfied}\:\mathrm{by}\:\mathrm{values} \\ $$$$\mathrm{of}\:{x}\:\mathrm{for}\:\mathrm{which} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:{x}\:=\:{n}\pi\:+\:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{\pi}{\mathrm{6}}\:,\:{n}\:\in\:{I} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{x}\:=\:\mathrm{2}{n}\pi\:+\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\:,\:{n}\:\in\:{I} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:{x}\:=\:\mathrm{2}{n}\pi\:−\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\:,\:{n}\:\in\:{I} \\ $$$$\left(\mathrm{4}\right)\:{x}\:=\:\mathrm{2}{n}\pi\:−\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:,\:{n}\:\in\:{I} \\ $$
Commented by ajfour last updated on 15/Jul/17
$$\mathrm{yes}\:,\:\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{right}\:\mathrm{dear}. \\ $$
Answered by ajfour last updated on 15/Jul/17
$$\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{xsin}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{3x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{xcos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right)=\mathrm{2cos}\:\mathrm{xcos}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\mathrm{and}/\mathrm{or} \\ $$$$\:\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\:−\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{and}/\mathrm{or}\:\:\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{2n}\pi\pm\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{2n}\pi−\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{n}\pi+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{\mathrm{6}}\:\:. \\ $$$$\mathrm{All}\:\mathrm{options}\:\mathrm{are}\:\mathrm{correct}. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 15/Jul/17
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{Sir}! \\ $$