Question Number 130208 by liberty last updated on 23/Jan/21
$$\:\mathrm{The}\:\mathrm{loop}\:\mathrm{of}\:\mathrm{curve}\:\mathrm{2ay}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{revolves}\:\mathrm{about}\:\mathrm{straight}\:\mathrm{line}\: \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{a}.\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{volume}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solid} \\ $$$$\mathrm{generated}. \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 23/Jan/21
$$\:\mathrm{The}\:\mathrm{given}\:\mathrm{curve}\:\mathrm{is}\:\mathrm{2ay}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} …\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\mathrm{the}\:\mathrm{curve}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{symetrical}\:\mathrm{about}\:\mathrm{the}\:\mathrm{x}−\mathrm{axis} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{loop}\:\mathrm{lies}\:\mathrm{between}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}=\mathrm{a}. \\ $$$$\mathrm{Differentiating}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}\:\mathrm{x}\:,\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\: \\ $$$$\mathrm{4ay}\:\left(\mathrm{dy}/\mathrm{dx}\right)\:=\:\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ax}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{dy}/\mathrm{dx}\right)=\mathrm{0}\:\mathrm{when}\:\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ax}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\mathrm{or}\:\mathrm{when} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{which}\:\mathrm{gives}\:\mathrm{from}\:\left(\mathrm{1}\right)\:,\:\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:. \\ $$$$\mathrm{Area}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{loop}\:\mathrm{A}=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \mathrm{y}\:\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)\sqrt{\mathrm{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{2a}}}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{A}=\:\sqrt{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} −\mathrm{ax}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{dx}\:=\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{15}}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{by}\:\mathrm{Pappus}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{the}\:\mathrm{required}\:\mathrm{volume} \\ $$$$=\:\mathrm{2}\pi\mathrm{a}\:×\:\mathrm{A}\:=\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{15}}\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\pi\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \:.\:……………….\lozenge \\ $$