Question Number 145393 by physicstutes last updated on 04/Jul/21
$$\mathrm{The}\:\mathrm{number}\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}}\:\mathrm{expressed}\:\mathrm{as}\:\mathrm{a}\:\mathrm{decimal}\:\mathrm{is}\:\mathrm{0}.\mathrm{153846153846}… \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{200th}\:\mathrm{and}\:\mathrm{300th}\:\mathrm{digits}\:\mathrm{are}? \\ $$
Answered by mr W last updated on 04/Jul/21
$${mod}\:\left(\mathrm{200},\mathrm{6}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{200}{th}\:{digit}\:{is}\:\mathrm{5} \\ $$$${mod}\:\left(\mathrm{300},\mathrm{6}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{300}{th}\:{digit}\:{is}\:\mathrm{6} \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 04/Jul/21
$${x}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}}\:=\:\mathrm{153846}\left(\mathrm{10}^{−\mathrm{6}} +\mathrm{10}^{−\mathrm{12}} +\mathrm{10}^{−\mathrm{18}} +…\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{200}\:=\:\mathrm{6}×\mathrm{33}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{200th}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{than}\:\mathrm{the}\:\mathrm{2nd} \\ $$$$\mathrm{decimal}\::\:\mathrm{5} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{300}\:=\:\mathrm{6}×\mathrm{49}+\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{300th}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{than}\:\mathrm{the}\:\mathrm{6th} \\ $$$$\mathrm{decimal}\::\:\mathrm{6} \\ $$
Commented by physicstutes last updated on 04/Jul/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{your}\:\mathrm{sirs} \\ $$