Question Number 18524 by Tinkutara last updated on 23/Jul/17
![The number of solutions of the equation sin^3 x − 3sinxcos^2 x + 2cos^3 x = 0 in [−(π/4), (π/4)] is](https://www.tinkutara.com/question/Q18524.png)
$$\mathrm{The}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} {x}\:−\:\mathrm{3sin}{x}\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}\:+\:\mathrm{2cos}^{\mathrm{3}} {x}\:=\:\mathrm{0}\:\mathrm{in} \\ $$$$\left[−\frac{\pi}{\mathrm{4}},\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right]\:\mathrm{is} \\ $$
Answered by Tinkutara last updated on 28/Jul/17
![Using AM ≥ GM ((sin^3 x + cos^3 x + cos^3 x)/3) ≥ sin x cos^2 x sin^3 x + cos^3 x + cos^3 x ≥ 3 sin x cos^2 x ∴ sin x = cos x ⇒ tan x = 1 ⇒ x = (π/4) Hence 1 solution in [−(π/4), (π/4)].](https://www.tinkutara.com/question/Q18720.png)
$$\mathrm{Using}\:\mathrm{AM}\:\geqslant\:\mathrm{GM} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:{x}\:+\:\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:{x}\:+\:\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:{x}}{\mathrm{3}}\:\geqslant\:\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x} \\ $$$$\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:{x}\:+\:\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:{x}\:+\:\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:{x}\:\geqslant\:\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{sin}\:{x}\:=\:\mathrm{cos}\:{x}\:\Rightarrow\:\mathrm{tan}\:{x}\:=\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{x}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{1}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{in}\:\left[−\frac{\pi}{\mathrm{4}},\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right]. \\ $$
Answered by ajfour last updated on 29/Jul/17
![sin^3 x−sin xcos^2 x−2sin xcos^2 x +2cos^3 x=0 sin x(sin^2 x−cos^2 x)−2cos^2 x(sin x−cos x)=0 (sin x−cos x)(sin^2 x+sin xcos x−2cos^2 x)=0 (sin x−cos x)(sin^2 x−sin xcos x +2sin xcos x−2cos^2 x)=0 ⇒(sin x−cos x)(sin x−cos x) ×(sin x−2cos x)=0 (sin x−cos x)^2 (sin x−2cos x)=0 ⇒ sin x=cos x or sin x=2cos x In [−(π/4), (π/4)] only solution is x=(π/4) .](https://www.tinkutara.com/question/Q18732.png)
$$\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{xcos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{2sin}\:\mathrm{xcos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)−\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{xcos}\:\mathrm{x}−\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{xcos}\:\mathrm{x}\right. \\ $$$$\left.\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{2sin}\:\mathrm{xcos}\:\mathrm{x}−\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:×\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\:\:\mathrm{or} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\mathrm{2cos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{I}}\mathrm{n}\:\left[−\frac{\pi}{\mathrm{4}},\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right]\:\:\mathrm{only}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{x}=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 29/Jul/17
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{Sir}!\:\mathrm{Also}\:\mathrm{a}\:\mathrm{nice}\:\mathrm{method}. \\ $$