Question Number 87648 by john santu last updated on 05/Apr/20
$$\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{a}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{a}_{\mathrm{3}} ,\:…\:\mathrm{satisfies} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{relation}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} +\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:,\:\mathrm{for} \\ $$$$\mathrm{n}>\mathrm{1}.\:\mathrm{given}\:\mathrm{that}\:\mathrm{a}_{\mathrm{20}} \:=\:\mathrm{6765}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{18}} \:=\:\mathrm{2584}\:\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}_{\mathrm{16}} \\ $$
Commented by john santu last updated on 05/Apr/20
$$\mathrm{a}_{\mathrm{20}} \:=\:\mathrm{a}_{\mathrm{19}} \:+\:\mathrm{a}_{\mathrm{18}} \\ $$$$=\:\mathrm{a}_{\mathrm{18}} +\mathrm{a}_{\mathrm{17}} +\mathrm{a}_{\mathrm{18}} \\ $$$$=\:\mathrm{3}×\mathrm{a}_{\mathrm{18}} −\mathrm{a}_{\mathrm{16}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{16}} \:=\:\mathrm{3}×\mathrm{a}_{\mathrm{18}} −\mathrm{a}_{\mathrm{20}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{16}} \:=\:\mathrm{3}×\mathrm{2584}−\mathrm{6765}\:=\:\mathrm{987} \\ $$
Commented by john santu last updated on 05/Apr/20
$$\mathrm{so}\:\mathrm{for}\:\mathrm{this}\:\mathrm{question}\: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{1}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\:\mathrm{A}\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} +\mathrm{B}\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} \\ $$
Commented by mr W last updated on 05/Apr/20
$${yes} \\ $$
Commented by john santu last updated on 05/Apr/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$