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The-sum-of-two-numbers-are-20-and-their-LCM-is-24-What-are-the-two-numbers-

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Question Number 105803 by Anindita last updated on 31/Jul/20
The sum of two numbers are 20 and their LCM is 24. What are the two numbers?
$$\mathrm{The}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{two} \\ $$$$\mathrm{numbers}\:\mathrm{are}\:\mathrm{20}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{their}\:\mathrm{LCM}\:\mathrm{is}\:\mathrm{24}. \\ $$$$\mathrm{What}\:\mathrm{are}\:\mathrm{the}\:\mathrm{two} \\ $$$$\mathrm{numbers}? \\ $$
Commented by Anindita last updated on 31/Jul/20
Please help me to solve it.
$$\mathrm{Please}\:\mathrm{help}\:\mathrm{me}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{it}. \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 31/Jul/20
a+b=20 lcm(a, b)=24 lcm(a, b).gcd(a, b)=ab⇒24.gcd(a,b)=ab gcd(a,b)=d⇒d∣a, d∣b⇒d∣a+b∴d∣20 a=da′, b=db′, gcd(a′,b′)=1⇒ab=d^2 a′b′ 24d=d^2 a′b′⇒a′b′=((24)/d)⇒d∣24 ⇒d∣20, d∣24⇒d∣gcd(20,24)⇒d∣4. ⇒d∈{1,2,4} d=1: ab=24 a+b=20 ⇒a∉Z d=2: ab=48⇒a∉Z d=4: ab=96 a+b=20 ⇒a^2 −20a+96=0⇒a=((20±4)/2)∴a=12, a=8 b=8, b=12 ⇒the two numbers are 12 and 8
$$\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{20} \\ $$$$\mathrm{lcm}\left(\mathrm{a},\:\mathrm{b}\right)=\mathrm{24} \\ $$$$\mathrm{lcm}\left(\mathrm{a},\:\mathrm{b}\right).\mathrm{gcd}\left(\mathrm{a},\:\mathrm{b}\right)=\mathrm{ab}\Rightarrow\mathrm{24}.\mathrm{gcd}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\mathrm{ab} \\ $$$$\mathrm{gcd}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\mathrm{d}\Rightarrow\mathrm{d}\mid\mathrm{a},\:\mathrm{d}\mid\mathrm{b}\Rightarrow\mathrm{d}\mid\mathrm{a}+\mathrm{b}\therefore\mathrm{d}\mid\mathrm{20} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{da}',\:\mathrm{b}=\mathrm{db}',\:\mathrm{gcd}\left(\mathrm{a}',\mathrm{b}'\right)=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{ab}=\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{a}'\mathrm{b}' \\ $$$$\mathrm{24d}=\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{a}'\mathrm{b}'\Rightarrow\mathrm{a}'\mathrm{b}'=\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{d}}\Rightarrow\mathrm{d}\mid\mathrm{24} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}\mid\mathrm{20},\:\mathrm{d}\mid\mathrm{24}\Rightarrow\mathrm{d}\mid\mathrm{gcd}\left(\mathrm{20},\mathrm{24}\right)\Rightarrow\mathrm{d}\mid\mathrm{4}. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}\in\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{4}\right\} \\ $$$$\mathrm{d}=\mathrm{1}: \\ $$$$\mathrm{ab}=\mathrm{24} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{20} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}\notin\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{d}=\mathrm{2}: \\ $$$$\mathrm{ab}=\mathrm{48}\Rightarrow\mathrm{a}\notin\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{d}=\mathrm{4}: \\ $$$$\mathrm{ab}=\mathrm{96} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{20} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{20a}+\mathrm{96}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{a}=\frac{\mathrm{20}\pm\mathrm{4}}{\mathrm{2}}\therefore\mathrm{a}=\mathrm{12},\:\mathrm{a}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{8},\:\mathrm{b}=\mathrm{12} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{two}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{are}\:\mathrm{12}\:\mathrm{and}\:\mathrm{8} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 31/Jul/20
a+b=20 24=ak_1 =bk_2 ⇒ ak_1 +bk_1 =20k_1 ⇒bk_2 +bk_1 =20k_1 ⇒b=((20k_1 )/(k_1 +k_2 ))∈N k_1 =2 k_2 =3⇒b=8 , a=12
$$\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{20} \\ $$$$\mathrm{24}=\mathrm{ak}_{\mathrm{1}} =\mathrm{bk}_{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\:\mathrm{ak}_{\mathrm{1}} +\mathrm{bk}_{\mathrm{1}} =\mathrm{20k}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{bk}_{\mathrm{2}} +\mathrm{bk}_{\mathrm{1}} =\mathrm{20k}_{\mathrm{1}} \Rightarrow\mathrm{b}=\frac{\mathrm{20k}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{k}_{\mathrm{1}} +\mathrm{k}_{\mathrm{2}} }\in\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{k}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}\:\mathrm{k}_{\mathrm{2}} =\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{8}\:,\:\mathrm{a}=\mathrm{12} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 01/Aug/20
Suppose gcd(a,b)=d⇒a=md,b=nd (where gcd(m,n)=1).Then LCM(a,b)=24=mnd.On the other hands,20=a+b=(m+n)d ⇔(((m+n)d)/(mnd))=((20)/(24))=(5/6)⇒6(m+n)=5mn ⇒25mn−30(m+n)+36=36 ⇒(5m−6)(5n−6)=36. 5m−6∈{1,2,3,4,6,9,18,36} It is easy to see that only 5m−6∈{4 ,9} satisfy i)5m−6=4⇒m=2,5n−6=9⇒n=3 ⇒d=((20)/(m+n))=4⇒a=md=8,b=nd=12 ii)5m−6=9⇒m=3,n=2⇒d=4⇒a=12,b=8 Thus,(m,n)∈{(8,12),(12,8)}
$$\mathrm{Suppose}\:\mathrm{gcd}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\mathrm{d}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{md},\mathrm{b}=\mathrm{nd} \\ $$$$\left(\mathrm{where}\:\mathrm{gcd}\left(\mathrm{m},\mathrm{n}\right)=\mathrm{1}\right).\mathrm{Then}\: \\ $$$$\mathrm{LCM}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\mathrm{24}=\mathrm{mnd}.\mathrm{On}\:\mathrm{the}\:\mathrm{other}\: \\ $$$$\mathrm{hands},\mathrm{20}=\mathrm{a}+\mathrm{b}=\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}\right)\mathrm{d} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}\right)\mathrm{d}}{\mathrm{mnd}}=\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{24}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\Rightarrow\mathrm{6}\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}\right)=\mathrm{5mn} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{25mn}−\mathrm{30}\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}\right)+\mathrm{36}=\mathrm{36} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{5m}−\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{5n}−\mathrm{6}\right)=\mathrm{36}. \\ $$$$\mathrm{5m}−\mathrm{6}\in\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{6},\mathrm{9},\mathrm{18},\mathrm{36}\right\} \\ $$$$\mathrm{It}\:\mathrm{is}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{see}\:\mathrm{that}\:\mathrm{only}\:\mathrm{5m}−\mathrm{6}\in\left\{\mathrm{4}\:,\mathrm{9}\right\} \\ $$$$\mathrm{satisfy}\: \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{5m}−\mathrm{6}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{2},\mathrm{5n}−\mathrm{6}=\mathrm{9}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}=\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{md}=\mathrm{8},\mathrm{b}=\mathrm{nd}=\mathrm{12} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{5m}−\mathrm{6}=\mathrm{9}\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{3},\mathrm{n}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{12},\mathrm{b}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{Thus},\left(\mathrm{m},\mathrm{n}\right)\in\left\{\left(\mathrm{8},\mathrm{12}\right),\left(\mathrm{12},\mathrm{8}\right)\right\} \\ $$

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