Trouver-toutes-les-fonctions-f-N-R-telque-a-b-N-f-a-2-b-2-f-a-2-f-b-2-et-f-1-1-

Question Number 149634 by puissant last updated on 06/Aug/21

Trouver toutes les fonctions f : N \to R^{+}

telque \forall (a, b) \in N,

f (a^{2} + b^{2}) = f (a^{2}) + f (b^{2}) et f (1) = 1

Answered by Ar Brandon last updated on 06/Aug/21

f (a^{2} + b^{2}) = f (a^{2}) + f (b^{2}), f (1) = 1

f (a^{2} + a^{2}) = f (2 a^{2}) = f (a^{2}) + f (a^{2}) = 2 f (a^{2})

Posons a = \frac{1}{\sqrt{2}}, alors; f (2 {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}) = 2 f ({(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2})

\Rightarrow f (1) = 2 f (\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

De fa e x t \c c con similaire posons a = \frac{1}{2} alors;

f (\frac{1}{2}) = 2 f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \Rightarrow f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}

Nous pouvons conclure que f (x) =∣ x ∣

Commented by puissant last updated on 06/Aug/21

merci broo

Commented by Ar Brandon last updated on 06/Aug/21

Je t'en prie��

Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 06/Aug/21

si la question est de trouver toutes les

fonctions, la fonction valeur absolue

n^{'} est pas la seule fonction .

Par exemple, le fonction partie entiere

repond au probleme aussi :

⌊ a^{2} + b^{2} ⌋ = ⌊ a^{2} ⌋ + ⌊ b^{2} ⌋ et ⌊ 1 ⌋ = 1

Bon, dans N, valeur absolue et

partie entiere se confondent .

Commented by Ar Brandon last updated on 06/Aug/21

Vous avez raison, monsieur

Commented by puissant last updated on 07/Aug/21

oui . . parfaitement raison m \hat{e m e} . .