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Use-Abel-summation-to-evaluate-n-1-1-2n-1-2-n-1-2-ln-2-1-

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Question Number 145827 by qaz last updated on 08/Jul/21
Use Abel summation to evaluate :: Σ_(n=1) ^∞ (1/((2n−1)∙2^n ))=(1/( (√2)))ln((√2)+1)
$$\mathrm{Use}\:\mathrm{Abel}\:\mathrm{summation}\:\mathrm{to}\:\mathrm{evaluate}\::: \\ $$$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\centerdot\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right) \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 08/Jul/21
S=Σ_(n=1) ^∞ (1/((2n−1)2^n ))=Σ_(n=1) ^∞ (1/((2n−1)((√2))^(2n−1) ∙(√2))) f(a)=Σ_(n=1) ^∞ (a^(2n−1) /(2n−1))⇒f ′(a)=Σ_(n=1) ^∞ a^(2n−2) =(1/(1−a^2 )), ∣a∣<1 f(a)=(1/2)ln∣((1+a)/(1−a))∣+C, f(0)=0⇒C=0 f(a)=(1/2)ln(((1+a)/(1−a))) S=(1/( (√2)))f((1/( (√2))))=(1/(2(√2)))ln((((√2)+1)/( (√2)−1)))=(1/(2(√2)))ln((√2)+1)^2 =(1/( (√2)))ln((√2)+1)
$$\mathrm{S}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \centerdot\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}\Rightarrow\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{a}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{a}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} },\:\mid\mathrm{a}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{1}+\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}}\mid+\mathrm{C},\:\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{C}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}}\right) \\ $$$$\mathrm{S}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right) \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jul/21
S=Σ_(n=1) ^∞ (1/(2n−1))((1/2))^n =(1/( (√2)))Σ_(n=1) ^∞ (1/(2n−1))((1/( (√2))))^(2n−1) =(1/( (√2)))f((1/( (√2))))with f(x)=Σ_(n=1) ^∞ (x^(2n−1) /(2n−1)) ⇒f^′ (x)=Σ_(n=1) ^∞ x^(2n−2) and ∣x∣<1 =Σ_(n=0) ^∞ x^(2n) =(1/(1−x^2 )) ⇒f(x)=∫ (dx/(1−x^2 )) +k =(1/2)∫((1/(1−x))+(1/(1+x)))dx +K=(1/2)log∣((1+x)/(1−x))∣ +K f(0)=0=k ⇒f(x)=(1/2)log∣((1+x)/(1−x))∣ ⇒S=(1/(2(√2)))log∣((1+(1/( (√2))))/(1−(1/( (√2)))))∣ =(1/(2(√2)))log((((√2)+1)/( (√2)−1)))
$$\mathrm{S}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{with}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \:\:\:\mathrm{and}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{k} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}\:+\mathrm{K}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mid\:+\mathrm{K} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}=\mathrm{k}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mid\:\Rightarrow\mathrm{S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}\mid \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}\right) \\ $$

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