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Question Number 99646 by 24224 Opiyo Kamuki last updated on 22/Jun/20
use power series solution method to solve the ODE y′′−xy=0
$$\boldsymbol{{use}}\:\boldsymbol{{power}}\:\boldsymbol{{series}}\:\boldsymbol{{solution}}\:\boldsymbol{{method}}\:\boldsymbol{{to}}\:\boldsymbol{{solve}}\:\boldsymbol{{the}}\:\boldsymbol{{ODE}} \\ $$$$\boldsymbol{{y}}''−\boldsymbol{{xy}}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by MWSuSon last updated on 22/Jun/20
Σ_(k=2) ^∞ k(k−1)a_k x^(k−2) −xΣ_(k=0) ^∞ a_k x^k =0 Σ_(k=0) ^∞ (k+1)(k+2)a_(k+2) x^k −Σ_(k=0) ^∞ a_k x^(k+1) =0 Σ_(k=0) ^∞ (k+1)(k+2)a_(k+2) x^k −Σ_(k=1) ^∞ a_(k−1) x^k =0 2a_2 +Σ_(k=1) ^∞ [(k+2)(k+1)a_(k+2) −a_(k−1) ]x^k =0 a_2 =0 recurrence relation for k≥1 a_(k+2) =(a_(k−1) /((k+2)(k+1))) input values for k=1,2,3,4,5,... and find a_k interms of a_(0 ) and a_1
$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{k}\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\mathrm{k}−\mathrm{2}} −\mathrm{x}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\mathrm{k}} =\mathrm{0} \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{k}} −\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} =\mathrm{0} \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{k}} −\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{k}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2a}_{\mathrm{2}} +\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left[\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{2}} −\mathrm{a}_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \right]\mathrm{x}^{\mathrm{k}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{recurrence}\:\mathrm{relation}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{input}\:\mathrm{values}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{5},… \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{find}\:\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \:\mathrm{interms}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}_{\mathrm{0}\:} \mathrm{and}\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 22/Jun/20
y =Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n ⇒y^′ =Σ_(n=1) ^∞ na_n x^(n−1) ⇒y^(′′) =Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)a_n x^(n−2) =Σ_(n=0) ^∞ (n+2)(n+1)a_(n+2) x^n e⇒Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(n+2)a_(n+2) x^n −Σ_(n=0) ^∞ a_n x^(n+1) =0 ⇒ Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(n+2)a_(n+2) x^n −Σ_(n=1) ^∞ a_(n−1) x^(n ) =0 ⇒ 2a_(2 ) +Σ_(n=1) ^∞ {(n+1)(n+2)a_(n+2) −a_(n−1) }x^n =0 ⇒ a_2 =0 and a_(n+2) =(a_(n−1) /((n+1)(n+2))) (n≥1) ⇒a_3 =(a_0 /(2.3)) a_4 =(a_1 /(3.4)) , a_5 =(a_2 /(4.5)) ,.... ⇒y(x) =a_0 +a_1 x +a_2 x^2 +a_3 x^3 +a_4 x^4 +... =a_0 +a_1 x +(a_0 /6) x^3 +(a_1 /(12))x^4 +(a_2 /(20)) x^5 +...
$$\mathrm{y}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{y}^{''} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}\:\:} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2a}_{\mathrm{2}\:} \:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left\{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right\}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)}\:\:\left(\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{2}.\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{3}.\mathrm{4}}\:\:,\:\:\:\:\mathrm{a}_{\mathrm{5}} =\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}.\mathrm{5}}\:,….\:\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}\:+\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{3}} \mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{4}} \mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+… \\ $$$$=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{6}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{12}}\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{20}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{5}} \:+… \\ $$

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