Question Number 118937 by harckinwunmy last updated on 20/Oct/20
$$\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{rule}\: \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{factorising}\:\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)^{\mathrm{n}} ? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 20/Oct/20
$$\mathrm{i}\:\mathrm{think}\:\mathrm{the}\:\mathrm{question}\:\mathrm{is}\:\mathrm{developping} \\ $$$$\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)^{\mathrm{n}} \:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{k}} \mathrm{c}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \left(\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{p}} \:\mathrm{a}^{\mathrm{p}} \:\mathrm{b}^{\mathrm{k}−\mathrm{p}} \right)\mathrm{c}^{\mathrm{n}+\mathrm{k}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}} \:\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{p}\:} \:\mathrm{a}^{\mathrm{p}} \:\mathrm{b}^{\mathrm{k}−\mathrm{p}} \:\mathrm{c}^{\mathrm{n}+\mathrm{k}} \\ $$