Question Number 19409 by Tinkutara last updated on 10/Aug/17
$$\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{squares}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{7}\left[{x}\right]\:+\:\mathrm{5}\:=\:\mathrm{0}? \\ $$$$\left(\mathrm{Here}\:\left[{x}\right]\:\mathrm{denotes}\:\mathrm{the}\:\mathrm{greatest}\:\mathrm{integer}\right. \\ $$$$\mathrm{less}\:\mathrm{than}\:\mathrm{or}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\:{x}.\:\mathrm{For}\:\mathrm{example} \\ $$$$\left.\left[\mathrm{3}.\mathrm{4}\right]\:=\:\mathrm{3}\:\mathrm{and}\:\left[−\mathrm{2}.\mathrm{3}\right]\:=\:−\mathrm{3}.\right) \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 11/Aug/17
$$\mathrm{2}+\mathrm{23}+\mathrm{30}+\mathrm{37}=\mathrm{92} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{this}\:\mathrm{right}? \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 11/Aug/17
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\left[\mathrm{x}\right]+\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\mathrm{f}+\mathrm{d}\:\mathrm{with}\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{d}<\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{f}+\mathrm{d}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{7f}+\mathrm{5}=\mathrm{f}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2d}−\mathrm{7}\right)\mathrm{f}+\left(\mathrm{d}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\geqslant\mathrm{f}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7f}+\mathrm{5}=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{f}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5f}+\mathrm{6}=\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7f}+\mathrm{5}=\left(\mathrm{f}−\frac{\mathrm{7}−\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{f}−\frac{\mathrm{7}+\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5f}+\mathrm{6}=\left(\mathrm{f}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{f}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right), \\ $$$$\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}: \\ $$$$\frac{\mathrm{7}−\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{0}.\mathrm{807}\leqslant\mathrm{f}<\mathrm{2}\:\mathrm{or} \\ $$$$\mathrm{3}<\mathrm{f}\leqslant\frac{\mathrm{7}+\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{6}.\mathrm{192} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}=\mathrm{1},\mathrm{4},\mathrm{5},\mathrm{6} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{x}=\mathrm{1}+\mathrm{d}: \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{d}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}×\mathrm{1}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}=\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{x}=\mathrm{4}+\mathrm{d}: \\ $$$$\left(\mathrm{4}+\mathrm{d}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}×\mathrm{4}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}=\sqrt{\mathrm{23}}−\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{23}}−\mathrm{4}=\sqrt{\mathrm{23}} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{x}=\mathrm{5}+\mathrm{d}: \\ $$$$\left(\mathrm{5}+\mathrm{d}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}×\mathrm{5}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}=\sqrt{\mathrm{30}}−\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{30}}−\mathrm{5}=\sqrt{\mathrm{30}} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{x}=\mathrm{6}+\mathrm{d}: \\ $$$$\left(\mathrm{6}+\mathrm{d}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}×\mathrm{6}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}=\sqrt{\mathrm{37}}−\mathrm{6} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{6}+\sqrt{\mathrm{37}}−\mathrm{6}=\sqrt{\mathrm{37}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{solutions}: \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}},\:\sqrt{\mathrm{23}},\:\sqrt{\mathrm{30}},\:\sqrt{\mathrm{37}} \\ $$$$\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{their}\:\mathrm{squares}: \\ $$$$\mathrm{2}+\mathrm{23}+\mathrm{30}+\mathrm{37}=\mathrm{92} \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 11/Aug/17
Commented by Tinkutara last updated on 12/Aug/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}!\:\mathrm{Awesome}! \\ $$
Answered by ajfour last updated on 12/Aug/17
$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\mathrm{n}+\mathrm{f} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\left[\mathrm{x}\right]+\left\{\mathrm{x}\right\}=\mathrm{n}+\mathrm{f} \\ $$$$\mathrm{then}\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{f}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}−\mathrm{7n}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\Rightarrow\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{f}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\:\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{integer}\:=\mathrm{7n} \\ $$$$\mathrm{clearly}\:\:\mathrm{0}<\mathrm{n}<\mathrm{7}\:\:\mathrm{and}\:\:\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{f}<\mathrm{1} \\ $$$$\:\mathrm{x}=\mathrm{n}+\mathrm{f}\:=\sqrt{\mathrm{7n}−\mathrm{5}}\:\:\:\:,\:\:\mathrm{f}=\mathrm{x}−\mathrm{n} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{1}\:,\:\:\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{2}}\:\:,\:\:\mathrm{f}=\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{n}=\mathrm{2}\:,\:\:\mathrm{x}=\mathrm{3}\:\:\:\:,\:\:\mathrm{f}=\mathrm{1}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{not}\:\mathrm{acceptable}; \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{n}=\mathrm{3}\:,\:\:\mathrm{x}=\mathrm{4}\:\:,\:\:\:\mathrm{f}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{not}\:\mathrm{acceptable}; \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{n}=\mathrm{4}\:,\:\:\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{23}}\:\:,\:\mathrm{f}=\sqrt{\mathrm{23}}−\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{quite}\:\mathrm{alright}\:! \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{n}=\mathrm{5}\:,\:\:\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{30}}\:\:,\:\mathrm{f}=\sqrt{\mathrm{30}}−\mathrm{5} \\ $$$$\:\mathrm{and}\:\mathrm{if}\:\:\mathrm{n}=\mathrm{6}\:,\:\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{37}}\:,\:\:\mathrm{f}=\sqrt{\mathrm{37}}−\mathrm{6} \\ $$$$\:\mathrm{acceptable}\:\mathrm{then}\:\mathrm{are}\:\mathrm{n}=\mathrm{1},\:\mathrm{4},\:\mathrm{5},\:\mathrm{6} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Sigma\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\Sigma\left(\mathrm{7n}−\mathrm{5}\right)\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{2}+\mathrm{23}+\mathrm{30}+\mathrm{37} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{92}\:. \\ $$$$ \\ $$
Commented by ajfour last updated on 12/Aug/17
$$\:\:\:\mathrm{as}\:\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{f}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}=\mathrm{7n} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}.\:\geqslant\:\mathrm{5}\:\Rightarrow\:\:\mathrm{7n}\:\geqslant\mathrm{5}\:\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{n}>\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}\:>\mathrm{7}\:\:,\:\:\:\:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:>\:\mathrm{7n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{f}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\:>\mathrm{7n} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{n}\:<\:\mathrm{7}\:\:\mathrm{if}\:\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{f}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\:=\mathrm{7n}\:. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 12/Aug/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}!\:\mathrm{Wonderful}! \\ $$
Commented by ajfour last updated on 12/Aug/17
Commented by ajfour last updated on 12/Aug/17
$$\mathrm{y}=\mathrm{7x}\:;\:\:\:\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\:;\:\:\:\mathrm{y}=\mathrm{7}\left[\mathrm{x}\right]\: \\ $$$$ \\ $$