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What-is-the-sum-of-the-squares-of-the-roots-of-the-equation-x-2-7-x-5-0-Here-x-denotes-the-greatest-integer-less-than-or-equal-to-x-For-example-3-4-3-and-2-3-3-




Question Number 19409 by Tinkutara last updated on 10/Aug/17
What is the sum of the squares of the  roots of the equation x^2  − 7[x] + 5 = 0?  (Here [x] denotes the greatest integer  less than or equal to x. For example  [3.4] = 3 and [−2.3] = −3.)
$$\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{squares}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{7}\left[{x}\right]\:+\:\mathrm{5}\:=\:\mathrm{0}? \\ $$$$\left(\mathrm{Here}\:\left[{x}\right]\:\mathrm{denotes}\:\mathrm{the}\:\mathrm{greatest}\:\mathrm{integer}\right. \\ $$$$\mathrm{less}\:\mathrm{than}\:\mathrm{or}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\:{x}.\:\mathrm{For}\:\mathrm{example} \\ $$$$\left.\left[\mathrm{3}.\mathrm{4}\right]\:=\:\mathrm{3}\:\mathrm{and}\:\left[−\mathrm{2}.\mathrm{3}\right]\:=\:−\mathrm{3}.\right) \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 11/Aug/17
2+23+30+37=92  is this right?
$$\mathrm{2}+\mathrm{23}+\mathrm{30}+\mathrm{37}=\mathrm{92} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{this}\:\mathrm{right}? \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 11/Aug/17
f(x)=x^2 −7[x]+5  let x=f+d with 0≤d<1  ⇒f(x)=(f+d)^2 −7f+5=f^2 +(2d−7)f+(d^2 +5)  f(x)≥f^2 −7f+5=g(x)  f(x)<f^2 −5f+6=h(x)  g(x)=f^2 −7f+5=(f−((7−(√(29)))/2))(f−((7+(√(29)))/2))  h(x)=f^2 −5f+6=(f−2)(f−3)  since g(x)≤f(x)<h(x),  solution of f(x)=0:  ((7−(√(29)))/2)≈0.807≤f<2 or  3<f≤((7+(√(29)))/2)≈6.192  ⇒f=1,4,5,6    with x=1+d:  (1+d)^2 −7×1+5=0  ⇒d=(√2)−1  ⇒x=1+(√2)−1=(√2)  with x=4+d:  (4+d)^2 −7×4+5=0  ⇒d=(√(23))−4  ⇒x=4+(√(23))−4=(√(23))  with x=5+d:  (5+d)^2 −7×5+5=0  ⇒d=(√(30))−5  ⇒x=5+(√(30))−5=(√(30))  with x=6+d:  (6+d)^2 −7×6+5=0  ⇒d=(√(37))−6  ⇒x=6+(√(37))−6=(√(37))    all solutions:  (√2), (√(23)), (√(30)), (√(37))  sum of their squares:  2+23+30+37=92
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\left[\mathrm{x}\right]+\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\mathrm{f}+\mathrm{d}\:\mathrm{with}\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{d}<\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{f}+\mathrm{d}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{7f}+\mathrm{5}=\mathrm{f}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2d}−\mathrm{7}\right)\mathrm{f}+\left(\mathrm{d}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\geqslant\mathrm{f}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7f}+\mathrm{5}=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{f}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5f}+\mathrm{6}=\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7f}+\mathrm{5}=\left(\mathrm{f}−\frac{\mathrm{7}−\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{f}−\frac{\mathrm{7}+\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5f}+\mathrm{6}=\left(\mathrm{f}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{f}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right), \\ $$$$\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}: \\ $$$$\frac{\mathrm{7}−\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{0}.\mathrm{807}\leqslant\mathrm{f}<\mathrm{2}\:\mathrm{or} \\ $$$$\mathrm{3}<\mathrm{f}\leqslant\frac{\mathrm{7}+\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{6}.\mathrm{192} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}=\mathrm{1},\mathrm{4},\mathrm{5},\mathrm{6} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{x}=\mathrm{1}+\mathrm{d}: \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{d}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}×\mathrm{1}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}=\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{x}=\mathrm{4}+\mathrm{d}: \\ $$$$\left(\mathrm{4}+\mathrm{d}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}×\mathrm{4}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}=\sqrt{\mathrm{23}}−\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{23}}−\mathrm{4}=\sqrt{\mathrm{23}} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{x}=\mathrm{5}+\mathrm{d}: \\ $$$$\left(\mathrm{5}+\mathrm{d}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}×\mathrm{5}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}=\sqrt{\mathrm{30}}−\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{30}}−\mathrm{5}=\sqrt{\mathrm{30}} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{x}=\mathrm{6}+\mathrm{d}: \\ $$$$\left(\mathrm{6}+\mathrm{d}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}×\mathrm{6}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}=\sqrt{\mathrm{37}}−\mathrm{6} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{6}+\sqrt{\mathrm{37}}−\mathrm{6}=\sqrt{\mathrm{37}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{solutions}: \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}},\:\sqrt{\mathrm{23}},\:\sqrt{\mathrm{30}},\:\sqrt{\mathrm{37}} \\ $$$$\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{their}\:\mathrm{squares}: \\ $$$$\mathrm{2}+\mathrm{23}+\mathrm{30}+\mathrm{37}=\mathrm{92} \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 11/Aug/17
Commented by Tinkutara last updated on 12/Aug/17
Thank you very much Sir! Awesome!
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}!\:\mathrm{Awesome}! \\ $$
Answered by ajfour last updated on 12/Aug/17
let x=n+f  let x=[x]+{x}=n+f  then (n+f)^2 +5−7n=0   ⇒ (n+f)^2 +5  is an integer =7n  clearly  0<n<7  and   0≤f<1   x=n+f =(√(7n−5))    ,  f=x−n     for n=1 ,  x=(√2)  ,  f=(√2)−1            n=2 ,  x=3    ,  f=1         so not acceptable;            n=3 ,  x=4  ,   f=1       not acceptable;            n=4 ,  x=(√(23))  , f=(√(23))−4       this is quite alright !            n=5 ,  x=(√(30))  , f=(√(30))−5   and if  n=6 , x=(√(37)) ,  f=(√(37))−6   acceptable then are n=1, 4, 5, 6            Σx^2 =Σ(7n−5)                      = 2+23+30+37                     = 92 .
$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\mathrm{n}+\mathrm{f} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\left[\mathrm{x}\right]+\left\{\mathrm{x}\right\}=\mathrm{n}+\mathrm{f} \\ $$$$\mathrm{then}\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{f}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}−\mathrm{7n}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\Rightarrow\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{f}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\:\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{integer}\:=\mathrm{7n} \\ $$$$\mathrm{clearly}\:\:\mathrm{0}<\mathrm{n}<\mathrm{7}\:\:\mathrm{and}\:\:\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{f}<\mathrm{1} \\ $$$$\:\mathrm{x}=\mathrm{n}+\mathrm{f}\:=\sqrt{\mathrm{7n}−\mathrm{5}}\:\:\:\:,\:\:\mathrm{f}=\mathrm{x}−\mathrm{n} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{1}\:,\:\:\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{2}}\:\:,\:\:\mathrm{f}=\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{n}=\mathrm{2}\:,\:\:\mathrm{x}=\mathrm{3}\:\:\:\:,\:\:\mathrm{f}=\mathrm{1}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{not}\:\mathrm{acceptable}; \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{n}=\mathrm{3}\:,\:\:\mathrm{x}=\mathrm{4}\:\:,\:\:\:\mathrm{f}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{not}\:\mathrm{acceptable}; \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{n}=\mathrm{4}\:,\:\:\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{23}}\:\:,\:\mathrm{f}=\sqrt{\mathrm{23}}−\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{quite}\:\mathrm{alright}\:! \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{n}=\mathrm{5}\:,\:\:\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{30}}\:\:,\:\mathrm{f}=\sqrt{\mathrm{30}}−\mathrm{5} \\ $$$$\:\mathrm{and}\:\mathrm{if}\:\:\mathrm{n}=\mathrm{6}\:,\:\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{37}}\:,\:\:\mathrm{f}=\sqrt{\mathrm{37}}−\mathrm{6} \\ $$$$\:\mathrm{acceptable}\:\mathrm{then}\:\mathrm{are}\:\mathrm{n}=\mathrm{1},\:\mathrm{4},\:\mathrm{5},\:\mathrm{6} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Sigma\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\Sigma\left(\mathrm{7n}−\mathrm{5}\right)\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{2}+\mathrm{23}+\mathrm{30}+\mathrm{37} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{92}\:. \\ $$$$ \\ $$
Commented by ajfour last updated on 12/Aug/17
   as  (n+f)^2 +5=7n     L.H.S. ≥ 5 ⇒  7n ≥5   so n>0     for n >7  ,    n^2  > 7n                        ⇒  (n+f)^2 +5 >7n      so n < 7  if  (n+f)^2 +5 =7n .
$$\:\:\:\mathrm{as}\:\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{f}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}=\mathrm{7n} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}.\:\geqslant\:\mathrm{5}\:\Rightarrow\:\:\mathrm{7n}\:\geqslant\mathrm{5}\:\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{n}>\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}\:>\mathrm{7}\:\:,\:\:\:\:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:>\:\mathrm{7n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{f}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\:>\mathrm{7n} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{n}\:<\:\mathrm{7}\:\:\mathrm{if}\:\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{f}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\:=\mathrm{7n}\:. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 12/Aug/17
Thank you very much Sir! Wonderful!
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}!\:\mathrm{Wonderful}! \\ $$
Commented by ajfour last updated on 12/Aug/17
Commented by ajfour last updated on 12/Aug/17
y=7x ;   y=x^2 +5 ;   y=7[x]
$$\mathrm{y}=\mathrm{7x}\:;\:\:\:\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\:;\:\:\:\mathrm{y}=\mathrm{7}\left[\mathrm{x}\right]\: \\ $$$$ \\ $$

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