Question Number 37940 by Rio Mike last updated on 19/Jun/18
$${Which}\:{of}\:{the}\:{following}\: \\ $$$${expressions}\:{are}\:{positive}\:{for} \\ $$$${all}\:{real}\:{values}\:{of}\:\:{x}? \\ $$$$\left.{a}\left.\right)\:{x}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{2}{x}\:+\:\mathrm{5}\:\:\:{b}\right)\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\: \\ $$$$\left.{c}\left.\right)\:{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:{d}\right)\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}\:+\:\mathrm{5} \\ $$
Answered by MrW3 last updated on 19/Jun/18
$$\left.{a}\right)\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+\mathrm{4}=\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\geqslant\mathrm{4}>\mathrm{0} \\ $$$$\left.{b}\right)\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}−\mathrm{2}=\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\geqslant−\mathrm{3} \\ $$$$\left.{c}\right)\:{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{2}={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}−\mathrm{2}=\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\geqslant−\mathrm{2} \\ $$$$\left.{d}\right)\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{5}=\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\left({x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\geqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}>\mathrm{0} \\ $$$$\left.\Rightarrow\left.{answer}\:{is}\:{a}\right)\:{and}\:{d}\right) \\ $$