Question Number 91560 by ar247 last updated on 01/May/20
$${x}=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2004}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2007}{x}−\mathrm{2000}=? \\ $$
Commented by Prithwish Sen 1 last updated on 01/May/20
$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2004}}+\mathrm{3}×\mathrm{2004}+\mathrm{2004}\sqrt{\mathrm{2004}}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{3}\left(\mathrm{1335}+\mathrm{669}\right)+\mathrm{2007}\sqrt{\mathrm{2004}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} =\:\frac{\mathrm{4006}+\mathrm{2007}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2004}}\right)}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{2003}+\mathrm{2007x} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{4}\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2007}\boldsymbol{\mathrm{x}}−\mathrm{2000}\:=\:\mathrm{3} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 01/May/20
$$\mathrm{2}{x}\:=\:\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2004}} \\ $$$$\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{2005}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2004}} \\ $$$$\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} \:=\:\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2004}}\right)\left(\mathrm{2005}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2004}}\:\right) \\ $$$$\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{2005}+\mathrm{2007}\sqrt{\mathrm{2004}}\:+\mathrm{4008} \\ $$$$\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{6013}+\mathrm{2007}\sqrt{\mathrm{2004}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} =\:\frac{\mathrm{6013}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2007}\left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} =\:\frac{\mathrm{6013}−\mathrm{2007}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2007}{x} \\ $$$$\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} =\:\frac{\mathrm{4006}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2007}{x} \\ $$$$\therefore\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2007}{x}−\mathrm{2000}\:= \\ $$$$\mathrm{2003}\:+\mathrm{2007}{x}−\mathrm{2007}{x}−\mathrm{2000} \\ $$$$=\:\mathrm{3} \\ $$