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x-1-3-n-x-1-x-2-x-n-x-n-n-N-n-1-Find-n-1-1-n-1-x-n-

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Question Number 160008 by HongKing last updated on 23/Nov/21
x_1 =3 ; n(x_1 +x_2 +...+x_n )=x_n ; n∈N ; n≥1 Find: Ω =Σ_(n=1) ^∞ (-1)^(n+1) x_n
$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}\:;\:\mathrm{n}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} +…+\mathrm{x}_{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \right)=\mathrm{x}_{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \:;\:\mathrm{n}\in\mathbb{N}\:;\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Find}: \\ $$$$\Omega\:=\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(-\mathrm{1}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}+\mathrm{1}} \:\mathrm{x}_{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \\ $$
Commented by mr W last updated on 23/Nov/21
Ω=6e ?
$$\Omega=\mathrm{6}{e}\:? \\ $$
Commented by HongKing last updated on 23/Nov/21
Yes my dear Ser but how please
$$\mathrm{Yes}\:\mathrm{my}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{Ser}\:\mathrm{but}\:\mathrm{how}\:\mathrm{please} \\ $$
Answered by Tokugami last updated on 23/Nov/21
n(x_1 +x_2 +...+x_n )=x_n nΣ_(k=1) ^n x_k =x_n nx_n +nΣ_(k=1) ^(n−1) x_k =x_n nΣ_(k=1) ^(n−1) x_k =x_n −nx_n (n/(1−n)) Σ_(k=1) ^(n−1) x_k =x_n ((n+1)/(−n))Σ_(k=1) ^n x_k =x_(n+1) Σ_(k=1) ^n x_k −Σ_(k=1) ^(n−1) x_k =((−n)/(n+1))x_(n+1) −((1−n)/n)x_n x_n =((−n)/(n+1))x_(n+1) −((1−n)/n)x_n (1+((1−n)/n))x_n =−(n/(n+1))x_(n+1) (1/n)x_n =−(n/(n+1))x_(n+1) −((n+1)/n^2 )x_n =x_(n+1) (−((1+1)/1^2 ))x_1 =x_2 (−((2+1)/2^2 ))x_2 =(−((2+1)/2^2 ))(−((1+1)/1^2 ))x_1 =x_3 x_n =(−1)^(n−1) (((n!)/(((n−1)!)^2 )))x_1 ((n!)/((n−1)!))=n x_n =(−1)^(n−1) (((3n)/((n−1)!))) Ω=Σ_(n=1) ^∞ (−1)^(n+1) x_n =Σ_(n=1) ^∞ (−1)^(n+1) (−1)^(n−1) (((3n)/((n−1)!))) =Σ_(n=1) ^∞ (−1)^(2n) _(1) (((3n)/((n−1)!))) =3Σ_(n=1) ^∞ (n/((n−1)!)) =6e
$${n}\left({x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +…+{x}_{{n}} \right)={x}_{{n}} \\ $$$${n}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{k}} ={x}_{{n}} \\ $$$${nx}_{{n}} +{n}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{x}_{{k}} ={x}_{{n}} \\ $$$${n}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{x}_{{k}} ={x}_{{n}} −{nx}_{{n}} \\ $$$$\frac{{n}}{\mathrm{1}−{n}}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{x}_{{k}} ={x}_{{n}} \\ $$$$\frac{{n}+\mathrm{1}}{−{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{k}} ={x}_{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}_{{k}} −\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{x}_{{k}} =\frac{−{n}}{{n}+\mathrm{1}}{x}_{{n}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}−{n}}{{n}}{x}_{{n}} \\ $$$${x}_{{n}} =\frac{−{n}}{{n}+\mathrm{1}}{x}_{{n}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}−{n}}{{n}}{x}_{{n}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}−{n}}{{n}}\right){x}_{{n}} =−\frac{{n}}{{n}+\mathrm{1}}{x}_{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{n}}{x}_{{n}} =−\frac{{n}}{{n}+\mathrm{1}}{x}_{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$−\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }{x}_{{n}} ={x}_{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left(−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }\right){x}_{\mathrm{1}} ={x}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(−\frac{\mathrm{2}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\right){x}_{\mathrm{2}} =\left(−\frac{\mathrm{2}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\right)\left(−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }\right){x}_{\mathrm{1}} ={x}_{\mathrm{3}} \\ $$$${x}_{{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\frac{{n}!}{\left(\left({n}−\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }\right){x}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{n}!}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}={n} \\ $$$${x}_{{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{3}{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\right) \\ $$$$\Omega=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} {x}_{{n}} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{3}{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\right) \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{\mathrm{1}} {\underbrace{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}{n}} }}\left(\frac{\mathrm{3}{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\right) \\ $$$$=\mathrm{3}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$=\mathrm{6}{e} \\ $$
Commented by HongKing last updated on 23/Nov/21
perfect my dear Ser, thank you so much
$$\mathrm{perfect}\:\mathrm{my}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{Ser},\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much} \\ $$
Answered by mr W last updated on 23/Nov/21
find Σ_(n=1) ^∞ (n^2 /(n!))=? Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!))=e^x Σ_(n=1) ^∞ (x^n /(n!))=e^x −1 Σ_(n=1) ^∞ ((nx^(n−1) )/(n!))=(d/dx)(e^x −1)=e^x Σ_(n=1) ^∞ ((nx^n )/(n!))=xe^x Σ_(n=1) ^∞ ((n^2 x^(n−1) )/(n!))=(d/dx)(xe^x )=(1+x)e^x let x=1, ⇒Σ_(n=1) ^∞ (n^2 /(n!))=2e x_1 +x_2 +x_3 +...+x_(n−1) +x_n =(x_n /n) x_1 +x_2 +x_3 +...+x_(n−1) =(x_(n−1) /(n−1)) ⇒x_n =(x_n /n)−(x_(n−1) /(n−1)) ⇒((x_n (n−1))/n)=−(x_(n−1) /(n−1)) ⇒(x_n /x_(n−1) )=−(n/((n−1)^2 )) ⇒(x_(n−1) /x_(n−2) )=−((n−1)/((n−2)^2 )) ... ⇒(x_2 /x_1 )=−(2/1^2 ) ⇒(x_n /x_1 )=(−1)^(n−1) ((n!)/(((n−1)!)^2 )) =(−1)^(n−1) (n/((n−1)!))=(−1)^(n−1) (n^2 /(n!)) ⇒x_n =(−1)^(n−1) ((n^2 x_1 )/(n!)) with x_1 =3, ⇒x_n =(−1)^(n−1) ((3n^2 )/(n!)) ⇒(−1)^(n+1) x_n =(−1)^(2n) ((3n^2 )/(n!))=((3n^2 )/(n!)) Ω=Σ_(n=1) ^∞ (−1)^(n+1) x_n =3Σ_(n=1) ^∞ (n^2 /(n!))=3×2e=6e
$${find}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}=? \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}={e}^{{x}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}={e}^{{x}} −\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{nx}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}!}=\frac{{d}}{{dx}}\left({e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)={e}^{{x}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{nx}^{{n}} }{{n}!}={xe}^{{x}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}!}=\frac{{d}}{{dx}}\left({xe}^{{x}} \right)=\left(\mathrm{1}+{x}\right){e}^{{x}} \\ $$$${let}\:{x}=\mathrm{1}, \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}=\mathrm{2}{e} \\ $$$$ \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} +…+{x}_{{n}−\mathrm{1}} +{x}_{{n}} =\frac{{x}_{{n}} }{{n}} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} +{x}_{\mathrm{2}} +{x}_{\mathrm{3}} +…+{x}_{{n}−\mathrm{1}} =\frac{{x}_{{n}−\mathrm{1}} }{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow{x}_{{n}} =\frac{{x}_{{n}} }{{n}}−\frac{{x}_{{n}−\mathrm{1}} }{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{x}_{{n}} \left({n}−\mathrm{1}\right)}{{n}}=−\frac{{x}_{{n}−\mathrm{1}} }{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{x}_{{n}} }{{x}_{{n}−\mathrm{1}} }=−\frac{{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\frac{{x}_{{n}−\mathrm{1}} }{{x}_{{n}−\mathrm{2}} }=−\frac{{n}−\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$… \\ $$$$\Rightarrow\frac{{x}_{\mathrm{2}} }{{x}_{\mathrm{1}} }=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\frac{{x}_{{n}} }{{x}_{\mathrm{1}} }=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \frac{{n}!}{\left(\left({n}−\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \frac{{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!} \\ $$$$\Rightarrow{x}_{{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \frac{{n}^{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{1}} }{{n}!} \\ $$$${with}\:{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}, \\ $$$$\Rightarrow{x}_{{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!} \\ $$$$\Rightarrow\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} {x}_{{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}{n}} \frac{\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}=\frac{\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!} \\ $$$$\Omega=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} {x}_{{n}} =\mathrm{3}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}=\mathrm{3}×\mathrm{2}{e}=\mathrm{6}{e} \\ $$
Commented by HongKing last updated on 23/Nov/21
perfect my dear Ser, thank you so much
$$\mathrm{perfect}\:\mathrm{my}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{Ser},\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much} \\ $$

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