Question Number 123144 by aurpeyz last updated on 23/Nov/20
$$\int\frac{{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{6}{x}−\mathrm{5}−{x}^{\mathrm{2}} }}{dx} \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 23/Nov/20
$$\mathrm{6}{x}−\mathrm{5}−{x}^{\mathrm{2}} \:=\:−\mathrm{5}−\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:−\mathrm{5}−\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{9}\right)+\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{4}−\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\emptyset\left({x}\right)=\int\:\frac{{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{4}−\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }}\:{dx}\: \\ $$$$\:{let}\:{x}−\mathrm{3}\:=\:\mathrm{2sin}\:{r}\:;\:{dx}\:=\:\mathrm{2cos}\:{r}\:{dr} \\ $$$${x}−\mathrm{1}\:=\:\mathrm{2sin}\:{r}+\mathrm{2}\: \\ $$$$\emptyset\left({x}\right)=\int\:\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{sin}\:{r}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2cos}\:{r}\:{dr}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{4sin}\:^{\mathrm{2}} {r}}} \\ $$$$\emptyset\left({x}\right)=\:\mathrm{2}\int\left(\mathrm{sin}\:{r}+\mathrm{1}\right){dr} \\ $$$$\emptyset\left({x}\right)=−\mathrm{2cos}\:{r}+\mathrm{2}{r}\:+\:{c}\: \\ $$$$\emptyset\left({x}\right)=−\mathrm{2}\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{4}−\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{2sin}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)+{c} \\ $$$$\emptyset\left({x}\right)=−\sqrt{\mathrm{6}{x}−\mathrm{5}−{x}^{\mathrm{2}} }\:+\:\mathrm{2sin}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\:+\:{c} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 23/Nov/20
$$\int\frac{{x}−\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{6}{x}−\mathrm{5}−{x}^{\mathrm{2}} }}+\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{−\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{9}\right)+\mathrm{4}}}{dx}\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{6}−\mathrm{2}{x}}{\:\sqrt{\mathrm{6}{x}−\mathrm{5}−{x}^{\mathrm{2}} }}+\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{4}−\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }}{dx}\:\:\: \\ $$$$=−\sqrt{\mathrm{6}{x}−\mathrm{5}−{x}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{2}{sin}^{−\mathrm{1}} \frac{{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+{C} \\ $$