Question Number 159639 by bobhans last updated on 19/Nov/21
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{9}−\mathrm{3}^{\mathrm{x}} \right)−\mathrm{3}}\:\leqslant\:\mathrm{1}\: \\ $$
Answered by tounghoungko last updated on 19/Nov/21
$$\:\:\:\frac{{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{9}−\mathrm{3}^{{x}} \right)−\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{27}\right)}\:\leqslant\:\mathrm{1}\:;\:\mathrm{9}−\mathrm{3}^{{x}} >\mathrm{0}\:;\:{x}<\mathrm{2} \\ $$$$\:\frac{{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{9}−\mathrm{3}^{{x}} }{\mathrm{27}}\right)}\:\leqslant\:\mathrm{1}\: \\ $$$$\:\:\left({x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{log}\:_{\left(\frac{\mathrm{9}−\mathrm{3}^{{x}} }{\mathrm{27}}\right)} \left(\mathrm{3}\right)\:\leqslant\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\mathrm{log}\:_{\left(\frac{\mathrm{9}−\mathrm{3}^{{x}} }{\mathrm{27}}\right)} \left(\mathrm{3}^{{x}−\mathrm{1}} \right)\:\leqslant\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\:{as}\:{x}<\mathrm{2}\:,\:\mathrm{0}\:<\:\frac{\mathrm{9}−\mathrm{3}^{{x}} }{\mathrm{27}}\:<\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\mathrm{3}^{{x}−\mathrm{1}\:} \geqslant\:\frac{\mathrm{9}−\mathrm{3}^{{x}} }{\mathrm{27}} \\ $$$$\:\:\mathrm{9}.\mathrm{3}^{{x}} \:\geqslant\:\mathrm{9}−\mathrm{3}^{{x}} \:;\:\mathrm{10}.\mathrm{3}^{{x}} \:\geqslant\:\mathrm{9} \\ $$$$\:{x}\:\geqslant\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)\: \\ $$$$\:{then}\:{x}\in\:\left[\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)\:,\:\mathrm{2}\:\right)\: \\ $$$$\: \\ $$