Question Number 20540 by tammi last updated on 28/Aug/17
$$\int\frac{\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}+{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} }{dx} \\ $$
Answered by $@ty@m last updated on 31/Aug/17
$${Let}\:{x}={t}^{\mathrm{6}} \:\:\:\:\left({Remark}:\:{LCM}\:{of}\:\mathrm{3}\:\&\:\mathrm{2}=\mathrm{6}\right) \\ $$$$\Rightarrow{dx}=\mathrm{6}{t}^{\mathrm{5}} {dt} \\ $$$$\therefore\int\frac{\sqrt{{x}}}{\mathrm{1}+{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} }{dx}=\int\frac{{t}^{\mathrm{3}} .\mathrm{6}{t}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt} \\ $$$$=\mathrm{6}\int\frac{{t}^{\mathrm{8}} }{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt} \\ $$$$=\mathrm{6}\int\left({t}^{\mathrm{6}} −{t}^{\mathrm{4}} +{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\right){dt}\:\left({see}\:{Note}\:{below}\right) \\ $$$$=\mathrm{6}\left[\frac{{t}^{\mathrm{7}} }{\mathrm{7}}−\frac{{t}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{5}}+\frac{{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}−{t}+{tan}^{−\mathrm{1}} {t}\right]+{C}\: \\ $$$${Note}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{t}^{\mathrm{6}} −{t}^{\mathrm{4}} +{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−−−−−−−− \\ $$$$\:\:{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\overset{\:\:} {\mid}{t}^{\mathrm{8}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{t}^{\mathrm{8}} +{t}^{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−−−− \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−{t}^{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−{t}^{\mathrm{6}} −{t}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−−−−− \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{t}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{t}^{\mathrm{4}} +{t}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−−−− \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−{t}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−−−− \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$