Question Number 102771 by bramlex last updated on 11/Jul/20
$$\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:=\:−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{1907}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{1907}} }\:?\: \\ $$
Answered by ajfour last updated on 11/Jul/20
$${x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\:{x}=\omega,\:\omega^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\omega^{\mathrm{1907}} +\frac{\mathrm{1}}{\omega^{\mathrm{1907}} }=\:\frac{\mathrm{1}}{\omega}+\omega\:=\:\omega^{\mathrm{2}} +\omega=−\mathrm{1}. \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 11/Jul/20
$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =−\mathrm{x}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}=\left(−\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{2x}+\mathrm{1}=\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{16}} =\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{160}} =\mathrm{x}^{\mathrm{10}} =\mathrm{x}^{\mathrm{4}} .\mathrm{x}^{\mathrm{4}} .\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}.\mathrm{x}.\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{160}} =\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{1600}} =\mathrm{x}^{\mathrm{10}} =\mathrm{x} \\ $$$$\bigstar\mathrm{x}^{\mathrm{307}} =\left(\mathrm{x}^{\mathrm{10}} \right)^{\mathrm{30}} .\mathrm{x}^{\mathrm{7}} =\mathrm{x}^{\mathrm{30}} .\mathrm{x}^{\mathrm{4}} .\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\left(\mathrm{x}^{\mathrm{10}} \right)^{\mathrm{3}} .\mathrm{x}.\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \\ $$$$=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} .\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{x}^{\mathrm{3}} .\mathrm{x}=\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{1907}} =\mathrm{x}^{\mathrm{1600}} .\mathrm{x}^{\mathrm{307}} =\mathrm{x}.\mathrm{x}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{1907}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{1907}} }=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{−\mathrm{x}−\mathrm{1}}=−\mathrm{1} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 11/Jul/20
$${Cool}! \\ $$
Commented by bramlex last updated on 11/Jul/20
$$\mathrm{jooss}… \\ $$