Question Number 160883 by cortano last updated on 08/Dec/21
$$\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{2}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\:−\mathrm{3}\:}\: \\ $$$$\:\mathrm{x}\:\in\mathbb{R}\: \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 08/Dec/21
$$\mathrm{this}\:\mathrm{looks}\:\mathrm{suspicious}\:\mathrm{to}\:\mathrm{me}\:\mathrm{because} \\ $$$$\sqrt{\varphi+\mathrm{1}}=\left(\mathrm{2}\varphi+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} =\varphi\:\mathrm{with}\:\varphi=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\varphi^{\mathrm{2}} −\varphi=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{testing}\:\Rightarrow\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{true}!\:{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{then}\:\mathrm{obviously}\:{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{solution} \\ $$