Question Number 123920 by john_santu last updated on 29/Nov/20
$$\:\int\:\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)}\:{dx}\:? \\ $$
Answered by liberty last updated on 29/Nov/20
$$\left(\bullet\right)\:\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)}\:=\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{2}\right)}\right) \\ $$$$\left(\bullet\bullet\right)\:{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}={x}^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:=\:{x}^{\mathrm{2}} \left(\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{3}\right)={x}^{\mathrm{2}} \left(\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\right) \\ $$$${letting}\:\mathrm{2sec}\:{v}\:=\:{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}\: \\ $$$${T}=\int\:\frac{\sqrt{\mathrm{4sec}\:^{\mathrm{2}} {v}−\mathrm{4}}}{\mathrm{2sec}\:{v}+\mathrm{1}}\:\left(\mathrm{2sec}\:{v}\:\mathrm{tan}\:{v}\:\right){dv} \\ $$$${T}=\int\:\frac{\mathrm{4tan}\:^{\mathrm{2}} {v}\:\mathrm{sec}\:{v}\:}{\mathrm{2sec}\:{v}\:+\mathrm{1}}\:{dv}\:=\:\int\left(\mathrm{2sec}\:^{\mathrm{2}} {v}−\mathrm{sec}\:{v}\right){dv}−\int\frac{\mathrm{3sec}\:{v}\:{dv}}{\mathrm{2sec}\:{v}\:+\mathrm{1}} \\ $$$${T}=\:\mathrm{2tan}\:{v}\:−\ell{n}\:\mid\mathrm{sec}\:{v}\:+\:\mathrm{tan}\:{v}\mid\:−\int\:\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{2}−\mathrm{cos}\:{v}\right)}{\mathrm{4}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {v}}\:{dv} \\ $$$${let}\:{L}=\int\:\frac{\mathrm{6}−\mathrm{3cos}\:{v}}{\mathrm{4}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {v}}\:{dv}\:=\:\int\:\frac{\mathrm{6sec}\:^{\mathrm{2}} {v}}{\mathrm{4sec}\:^{\mathrm{2}} {v}−\mathrm{1}}{dv}−\int\frac{\mathrm{3cos}\:{v}}{\mathrm{3}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {v}}\:{dv} \\ $$$${L}=\int\:\frac{\mathrm{6}{du}}{\mathrm{4}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\:\left[\:{u}\:=\:\mathrm{tan}\:{v}\:\right]\:−\int\frac{\mathrm{3}{dj}}{\mathrm{3}+{j}^{\mathrm{2}} }\:\left[\:{j}\:=\:\mathrm{sin}\:{v}\:\right] \\ $$$${L}=\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{u}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{j}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\: \\ $$$${L}=\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2tan}\:{v}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{sin}\:{v}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right) \\ $$$${Thus}\:{T}\:=\:\mathrm{2tan}\:{v}\:−\ell{n}\mid\mathrm{sec}\:{v}\:+\:\mathrm{tan}\:{v}\:\mid− \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\left\{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2tan}\:{v}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{sin}\:{v}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\right\}+\:{c} \\ $$$${where}\:{v}\:=\:\mathrm{sec}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}}\right)\:. \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 29/Nov/20
$$\int\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)}{dx}= \\ $$$$=\int\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right)}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}}}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{dt}\right] \\ $$$$=\mathrm{32}\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{{t}^{\mathrm{6}} +{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{5}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}{dt}= \\ $$$$=\mathrm{32}\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}{dt}= \\ $$$$=\mathrm{2}\int\frac{{dt}}{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}\int\frac{{dt}}{\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\mathrm{6}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}+\int\frac{{dt}}{{t}−\mathrm{1}}−\int\frac{{dt}}{{t}+\mathrm{1}}= \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}}{{t}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}}{{t}+\mathrm{1}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{t}}{\mathrm{3}}\:+\mathrm{ln}\:\left({t}−\mathrm{1}\right)\:−\mathrm{ln}\:\left({t}+\mathrm{1}\right)\:= \\ $$$$=−\frac{\mathrm{4}{t}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{t}}{\mathrm{3}}\:+\mathrm{ln}\:\frac{{t}−\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}\:= \\ $$$$=\frac{\sqrt{\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right)}}{{x}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}}{\mathrm{3}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}}}\:+\mathrm{ln}\:\mid\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}−\sqrt{\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right)}}{\mathrm{2}{x}}\mid\:+{C} \\ $$
Commented by liberty last updated on 29/Nov/20
$${waw}\:{great} \\ $$