Question Number 165060 by mathlove last updated on 25/Jan/22
$${x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{4}\:\:{then}\:{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }=? \\ $$
Answered by TheSupreme last updated on 25/Jan/22
$${x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{18} \\ $$$$\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} ={x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}=\mathrm{20} \\ $$$$\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)=\sqrt{\mathrm{20}}=\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)=\pm\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$ \\ $$$${general} \\ $$$$\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)={t} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{2}={t}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)={t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2} \\ $$$$\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} ={t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}+\mathrm{2}={t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)=\pm{t}\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}} \\ $$