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x-2-1-x-1-2x-3-dx-

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 94609 by  M±th+et+s last updated on 20/May/20
∫((x^2 −1)/( (√(x+1))+(√(2x+3))))dx
$$\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 20/May/20
I =∫ ((x^2 −1)/( (√(x+1))+(√(2x+3))))dx ⇒I =∫ (((x^2 −1)((√(2x+3))−(√(x+1))))/(x+2))dx =∫ ((x^2 −1)/(x+2))(√(2x+3))dx −∫ ((x^2 −1)/(x+2))(√(x+1))dx =A−B changement (√(2x+3))=t give 2x+3 =t^2 ⇒x =((t^2 −3)/2) ⇒ A =∫ (((1/4)(t^2 −2)^2 −1)/(((t^2 −3)/2)+2))×t (t)dt =(1/2)∫ (((t^2 −2)^2 −4)/(t^2 −3 +4))t^2 dt =(1/2)∫ ((t^2 ( t^4 −4t^2 ))/(t^2 +1))dt =(1/2) ∫ ((t^6 −4t^4 )/(t^2 +1))dt =(1/2)∫ ((t^4 (t^2 +1)−5t^4 )/(t^2 +1))dt =(1/2) ∫t^4 dt −(5/2)∫ ((t^4 −1 +1)/(t^2 +1))dt =(t^5 /(10)) −(5/2)∫(t^2 −1)dt−(5/2)arctant =(t^5 /(10))−(5/6)t^3 +(5/2)t −(5/2)arctan(t) +c_0 =((((√(2x+3)))^5 )/(10))−(5/6)((√(2x+3)))^3 +(5/2)((√(2x+3)))−(5/2) arctan((√(2x+3))) +c_0 changement (√(x+1))=t give x =t^2 −1 ⇒ B =∫ (((t^2 −1)^2 −1)/(t^2 −1+2))×t (2t)dt =2 ∫ ((t^2 (t^4 −2t^2 ))/(t^2 +1))dt =2 ∫ ((t^6 −2t^4 )/(t^2 +1))dt =2 ∫ ((t^4 (t^2 +1)−3t^4 )/(t^2 +1))dt =2 ∫ t^4 dt −6 ∫ (t^4 /(t^2 +1))dt =(2/5)t^5 −6 ∫((t^4 −1+1)/(t^2 +1))dt =(2/5)t^5 −6∫(t^2 −1)dt −6arctan(t) =(2/5)t^5 −2t^3 +6t −6 arctan(t) +c_1 =(2/5)((√(x+1)))^5 −2((√(x+1)))^3 +6(√(x+1))−6 arctan((√(x+1))) +c_1 I =A−B
$$\mathrm{I}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int\:\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}{dx}\:−\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\mathrm{A}−\mathrm{B}\:\mathrm{changement}\: \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}=\mathrm{t}\:\mathrm{give}\:\mathrm{2x}+\mathrm{3}\:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\int\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}×\mathrm{t}\:\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\:+\mathrm{4}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\:\mathrm{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4t}^{\mathrm{2}} \:\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{6}} −\mathrm{4t}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{5t}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{dt}\:−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\:+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{10}}\:−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{dt}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctant} \\ $$$$=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{10}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}\:−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\left(\mathrm{t}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{0}} \\ $$$$=\frac{\left(\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{5}} }{\mathrm{10}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\left(\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right)−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\mathrm{changement}\:\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{t}\:\mathrm{give}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{B}\:=\int\:\:\:\frac{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{2}}×\mathrm{t}\:\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\:\int\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{6}} −\mathrm{2t}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\:\int\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{3t}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int\:\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{dt}\:−\mathrm{6}\:\int\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{t}^{\mathrm{5}} −\mathrm{6}\:\int\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{t}^{\mathrm{5}} \:−\mathrm{6}\int\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{dt}\:−\mathrm{6arctan}\left(\mathrm{t}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{t}^{\mathrm{5}} −\mathrm{2t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6t}\:−\mathrm{6}\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{t}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{5}} −\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{6}\:\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\mathrm{A}−\mathrm{B} \\ $$$$ \\ $$
Commented by  M±th+et+s last updated on 20/May/20
well done . thank you sir
$${well}\:{done}\:. \\ $$$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 20/May/20
you are welcome
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome} \\ $$
Answered by MJS last updated on 20/May/20
I found this; integration is easy but inserting at the end is tricky... ∫((x^2 −1)/( (√(x+1))+(√(2x+3))))dx= [t=(√(2(x+1)))+(√(2x+3)) → dx=((2(√((x+1)(2x+3))))/(2(√(x+1))+(√(2(2x+3))))dt] =((√2)/(128))∫(((t−1)^3 (t+1)^3 (t^2 +1)(t^4 −18t^2 +1))/(t^6 ((1+(√2))t^2 −1+(√2))))dt= =Σ of the following: (1) −12(1−(√2))∫(dt/(t^2 +3−2(√2)))=12arctan ((1+(√2))t) (2) ((2−(√2))/(128))∫t^4 dt=((2−(√2))/(640))t^5 (3) −((50−27(√2))/(128))∫t^2 dt=−((50−27(√2))/(384))t^3 (4) ((166−109(√2))/(64))∫dt=((166−109(√2))/(64))t (5) −((166+109(√2))/(64))∫(dt/t^2 )=((166+109(√2))/(64t)) (6) ((50+27(√2))/(128))∫(dt/t^4 )=−((50+27(√2))/(384t^3 )) (7) −((2+(√2))/(128))∫(dt/t^6 )=((2+(√2))/(640t^5 )) = 12arctan ((1+(√2))((√(2(x+1)))+(√(2x+3)))) + −(2/5)(x^2 −3x+11)(√(x+1))+ +(1/(15))(6x^2 −17x+51)(√(2x+3)) +C
$$\mathrm{I}\:\mathrm{found}\:\mathrm{this};\:\mathrm{integration}\:\mathrm{is}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{but}\:\mathrm{inserting} \\ $$$$\mathrm{at}\:\mathrm{the}\:\mathrm{end}\:\mathrm{is}\:\mathrm{tricky}… \\ $$$$\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\sqrt{\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)}+\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}\right)}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}\right.}}{dt}\right] \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{128}}\int\frac{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{18}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{{t}^{\mathrm{6}} \left(\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right){t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{dt}= \\ $$$$=\Sigma\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}: \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:−\mathrm{12}\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}=\mathrm{12arctan}\:\left(\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right){t}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{128}}\int{t}^{\mathrm{4}} {dt}=\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{640}}{t}^{\mathrm{5}} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:−\frac{\mathrm{50}−\mathrm{27}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{128}}\int{t}^{\mathrm{2}} {dt}=−\frac{\mathrm{50}−\mathrm{27}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{384}}{t}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\left(\mathrm{4}\right)\:\frac{\mathrm{166}−\mathrm{109}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{64}}\int{dt}=\frac{\mathrm{166}−\mathrm{109}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{64}}{t} \\ $$$$\left(\mathrm{5}\right)\:−\frac{\mathrm{166}+\mathrm{109}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{64}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{166}+\mathrm{109}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{64}{t}} \\ $$$$\left(\mathrm{6}\right)\:\frac{\mathrm{50}+\mathrm{27}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{128}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{4}} }=−\frac{\mathrm{50}+\mathrm{27}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{384}{t}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\left(\mathrm{7}\right)\:−\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{128}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{6}} }=\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{640}{t}^{\mathrm{5}} } \\ $$$$= \\ $$$$\mathrm{12arctan}\:\left(\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left(\sqrt{\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)}+\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}\right)\right)\:+ \\ $$$$\:\:\:\:−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{11}\right)\sqrt{{x}+\mathrm{1}}+ \\ $$$$\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{15}}\left(\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{17}{x}+\mathrm{51}\right)\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}\:+{C} \\ $$
Commented by  M±th+et+s last updated on 20/May/20
thank you sir. nice sork
$${thank}\:{you}\:{sir}.\:{nice}\:{sork} \\ $$

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