Question Number 117029 by bemath last updated on 09/Oct/20
$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{dx}\:+\:\left(\mathrm{4xy}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{dy}\:=\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by bemath last updated on 09/Oct/20
$$\mathrm{letting}\:\mathrm{y}\:=\:\varphi\mathrm{x}\:\Rightarrow\mathrm{dy}\:=\:\varphi\:\mathrm{dx}+\mathrm{x}\:\mathrm{d}\varphi \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\varphi^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{dx}\:+\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \varphi−\varphi^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\varphi\mathrm{dx}+\mathrm{x}\:\mathrm{d}\varphi\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\varphi^{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{dx}\:+\left(\mathrm{4}\varphi−\varphi^{\mathrm{2}} \right)\left(\varphi\mathrm{dx}+\mathrm{xd}\varphi\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\varphi^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\varphi^{\mathrm{2}} −\varphi^{\mathrm{3}} \right)\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{x}\left(\varphi^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\varphi\right)\mathrm{d}\varphi \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\varphi^{\mathrm{2}} −\varphi^{\mathrm{3}} \right)\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{x}\left(\varphi^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\varphi\right)\mathrm{d}\varphi \\ $$$$\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}\:=\:\frac{\left(\varphi^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\varphi\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{6}\varphi^{\mathrm{2}} −\varphi^{\mathrm{3}} }\:\mathrm{d}\varphi \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\:\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\varphi^{\mathrm{2}} −\varphi^{\mathrm{3}} \right)}{\mathrm{1}+\mathrm{6}\varphi^{\mathrm{2}} −\varphi^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{3}\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}\:=\:\int\:\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\varphi^{\mathrm{2}} −\varphi^{\mathrm{3}} \right)}{\mathrm{1}+\mathrm{6}\varphi^{\mathrm{2}} −\varphi^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\Rightarrow\:−\mathrm{3}\left(\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{x}\mid\:+\:\mathrm{c}\:\right)\:=\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\varphi−\varphi^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{ln}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{Cx}}\right)^{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\varphi−\varphi^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}+\mathrm{6}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\right)−\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{3}} =\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{Cx}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}−\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{K}\:;\:\mathrm{where}\:\mathrm{K}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{C}^{\mathrm{3}} } \\ $$