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x-2-log-5-x-x-5x-4-log-x-5-x-




Question Number 83786 by jagoll last updated on 06/Mar/20
(x^2 /(log_((5−x))  (x))) ≤ (5x−4) log_x  (5−x)
$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{log}_{\left(\mathrm{5}−{x}\right)} \:\left({x}\right)}\:\leqslant\:\left(\mathrm{5}{x}−\mathrm{4}\right)\:\mathrm{log}_{{x}} \:\left(\mathrm{5}−{x}\right)\: \\ $$
Answered by john santu last updated on 06/Mar/20
x^2  log_x  (5−x) ≤ (5x−4) log_x  (5−x)  (x−1)((5−x)^x^2  −(5−x)^(5x−4) ) ≤ 0  (i) x > 0 ∧ x ≠ 1 ∧x ≠ 4 ∧ x < 5  ⇒ for x < 1 ⇒ x^2 −5x+4 ≥ 0   (x−1)(x−4) ≥0 , ⇒ x < 1  ⇒ for x > 1 ⇒ x^2 −5x+4 ≤ 0  1 < x < 4  the solution is 0 < x < 1∨ 1 < x < 4
$${x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{log}_{{x}} \:\left(\mathrm{5}−{x}\right)\:\leqslant\:\left(\mathrm{5}{x}−\mathrm{4}\right)\:\mathrm{log}_{{x}} \:\left(\mathrm{5}−{x}\right) \\ $$$$\left({x}−\mathrm{1}\right)\left(\left(\mathrm{5}−{x}\right)^{{x}^{\mathrm{2}} } −\left(\mathrm{5}−{x}\right)^{\mathrm{5}{x}−\mathrm{4}} \right)\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\:{x}\:>\:\mathrm{0}\:\wedge\:{x}\:\neq\:\mathrm{1}\:\wedge{x}\:\neq\:\mathrm{4}\:\wedge\:{x}\:<\:\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{for}\:{x}\:<\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{4}\:\geqslant\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{4}\right)\:\geqslant\mathrm{0}\:,\:\Rightarrow\:{x}\:<\:\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{for}\:{x}\:>\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{4}\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{1}\:<\:{x}\:<\:\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{0}\:<\:{x}\:<\:\mathrm{1}\vee\:\mathrm{1}\:<\:{x}\:<\:\mathrm{4} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 06/Mar/20
thank you sir , but the   answer is 0 < x < 1 ∨ 1 < x < 4   ∨ 4 < x < 5
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}\:,\:\mathrm{but}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{0}\:<\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{1}\:\vee\:\mathrm{1}\:<\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{4}\: \\ $$$$\vee\:\mathrm{4}\:<\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{5} \\ $$
Answered by MJS last updated on 07/Mar/20
x^2 ((ln (5−x))/(ln x))≤(5x−4)((ln (5−x))/(ln x))  0<x<5 ∧ x≠1 ∧ x≠4  case 1 ((ln (5−x))/(ln x))>0 ∧ x^2 ≤5x−4       case 1.1 ln (5−x) <0 ∧ ln x <0            no solution       case 1.2 ln (5−x) >0 ∧ ln x >0            1<x<4       x^2 −5x+4≤0 ⇒ 1≤x≤5  ⇒ 1<x<4  case 2 ((ln (5−x))/(ln x))<0 ∧ x^2 ≥5x−4       case 2.1 ln (5−x) <0 ∧ ln x >0            4<x<5       case 2.2 ln (5−x) >0 ∧ ln x <0            0<x<1       x^2 −5x+4≥0 ⇒ x≤1 ∨ x≥4  ⇒ 0<x<1 ∨ 4<x<5    answer x∈]0; 5[\{1; 4}  but regarding the limits we could define for  0≤x≤5
$${x}^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{5}−{x}\right)}{\mathrm{ln}\:{x}}\leqslant\left(\mathrm{5}{x}−\mathrm{4}\right)\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{5}−{x}\right)}{\mathrm{ln}\:{x}} \\ $$$$\mathrm{0}<{x}<\mathrm{5}\:\wedge\:{x}\neq\mathrm{1}\:\wedge\:{x}\neq\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}\:\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{5}−{x}\right)}{\mathrm{ln}\:{x}}>\mathrm{0}\:\wedge\:{x}^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{5}{x}−\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{case}\:\mathrm{1}.\mathrm{1}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{5}−{x}\right)\:<\mathrm{0}\:\wedge\:\mathrm{ln}\:{x}\:<\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{case}\:\mathrm{1}.\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{5}−{x}\right)\:>\mathrm{0}\:\wedge\:\mathrm{ln}\:{x}\:>\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}<{x}<\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{4}\leqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{1}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{1}<{x}<\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}\:\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{5}−{x}\right)}{\mathrm{ln}\:{x}}<\mathrm{0}\:\wedge\:{x}^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{5}{x}−\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{case}\:\mathrm{2}.\mathrm{1}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{5}−{x}\right)\:<\mathrm{0}\:\wedge\:\mathrm{ln}\:{x}\:>\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4}<{x}<\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{case}\:\mathrm{2}.\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{5}−{x}\right)\:>\mathrm{0}\:\wedge\:\mathrm{ln}\:{x}\:<\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}<{x}<\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{4}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}\leqslant\mathrm{1}\:\vee\:{x}\geqslant\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{0}<{x}<\mathrm{1}\:\vee\:\mathrm{4}<{x}<\mathrm{5} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{answer}\:{x}\in\right]\mathrm{0};\:\mathrm{5}\left[\backslash\left\{\mathrm{1};\:\mathrm{4}\right\}\right. \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{regarding}\:\mathrm{the}\:\mathrm{limits}\:\mathrm{we}\:\mathrm{could}\:\mathrm{define}\:\mathrm{for} \\ $$$$\mathrm{0}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{5} \\ $$

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