Question Number 128166 by bramlexs22 last updated on 05/Jan/21
$$\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\:+\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{4x}+\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{10} \\ $$$$\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\in\mathbb{R}\: \\ $$
Answered by liberty last updated on 05/Jan/21
$$\:\sqrt{\mathrm{4x}+\mathrm{1}}\:=\:\left[\:−\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}+\mathrm{10}\:\right] \\ $$$$\:\mathrm{4x}+\mathrm{1}\:=\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}\:}\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{3}}\:−\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{3}}\:+\mathrm{2x}\:−\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\:+\mathrm{101} \\ $$$$\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{3}}\:=\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}−\mathrm{50}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}−\mathrm{10}} \\ $$$$\:\mathrm{x}+\mathrm{3}\:=\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}−\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}+\mathrm{98}}\:+\:\frac{\mathrm{20x}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}}{\mathrm{x}−\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\:+\mathrm{98}}\:−\frac{\mathrm{1000}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}}{\mathrm{x}−\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}+\mathrm{98}}\:+\frac{\mathrm{2300}}{\mathrm{x}−\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}+\mathrm{98}}\: \\ $$$$\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\:=\frac{\mathrm{101x}−\mathrm{2006}}{\mathrm{40x}−\mathrm{940}} \\ $$$$\:\mathrm{x}−\mathrm{2}\:=\:\frac{\left(\mathrm{101x}−\mathrm{2006}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{40x}−\mathrm{940}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{x}\:=\:−\frac{\mathrm{399}\sqrt{\mathrm{401}}−\mathrm{79001}}{\mathrm{3200}}\:;\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{399}\sqrt{\mathrm{401}}\:+\mathrm{79001}}{\mathrm{3200}}\:;\:\mathrm{x}=\mathrm{6}\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 05/Jan/21
$$\mathrm{obviously}\:{x}=\mathrm{6}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{real}\:\mathrm{solution}. \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{squaring}\:\mathrm{you}\:\mathrm{introduce}\:\mathrm{false}\:\mathrm{solutions}, \\ $$$$\mathrm{you}\:\mathrm{have}\:\mathrm{to}\:\mathrm{check}\:\mathrm{each}\:\mathrm{single}\:\mathrm{one}\:\mathrm{inserting} \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{original}\:\mathrm{equation} \\ $$