Question Number 144234 by mathdanisur last updated on 23/Jun/21
$$\int\:\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:-\:{x}}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:{dx}\:=\:? \\ $$
Answered by liberty last updated on 23/Jun/21
$$\int\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} }}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:=\:\int\:\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} \:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{1}−\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} \:\rightarrow\mathrm{2u}\:\mathrm{du}\:=\:\mathrm{x}^{−\mathrm{2}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{then}\:\int\:\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\:\left(\mathrm{2u}\:\mathrm{du}\right)=\int\mathrm{2u}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{du} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{c}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{3}} }\:+\mathrm{c}\: \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{2}\sqrt{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }}{\mathrm{3x}\sqrt{\mathrm{x}}}\:+\:\mathrm{c}\: \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\mathrm{3x}\sqrt{\mathrm{x}}}\:+\:\mathrm{c} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 23/Jun/21
$${Thank}\:{you}\:{Sir} \\ $$