Question Number 99357 by bobhans last updated on 20/Jun/20
$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{xy}\:+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3y}\:=\:\mathrm{10}\:,\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:\mathrm{at}\:\mathrm{x}=\:\mathrm{2}\: \\ $$
Commented by bemath last updated on 20/Jun/20
$$\mathrm{x}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{4}+\mathrm{2y}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3y}−\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}−\mathrm{6}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{y}=\mathrm{3}}\\{\mathrm{y}=−\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{implicit}\:\mathrm{differentiate}\: \\ $$$$\mathrm{2x}\:+\mathrm{y}+\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{2y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\mathrm{3}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{y}+\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}+\mathrm{2y}\right)\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{for}\:\left(\mathrm{2},\mathrm{3}\right)\:\Rightarrow\mathrm{4}+\mathrm{3}+\left(\mathrm{2}−\mathrm{3}+\mathrm{6}\right)\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{for}\:\left(\mathrm{2},−\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{4}−\mathrm{2}+\left(\mathrm{2}−\mathrm{3}−\mathrm{4}\right)\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\frac{−\mathrm{2}}{\left(−\mathrm{5}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 20/Jun/20
$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{xy}−\mathrm{3y}\:=\mathrm{10}\:\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{y}\:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}\right)\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}\:+\mathrm{9}−\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{40}\:=−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}\:+\mathrm{49} \\ $$$$\mathrm{for}\:\Delta\geqslant\mathrm{0}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\:\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{3}−\mathrm{x}+\sqrt{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}\:+\mathrm{49}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{3}−\mathrm{x}−\sqrt{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}\:+\mathrm{49}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{−\mathrm{6x}−\mathrm{6}}{\mathrm{2}\sqrt{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{49}}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}\sqrt{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{49}}} \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}\sqrt{−\mathrm{12}−\mathrm{12}+\mathrm{49}}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\:=\frac{−\mathrm{5}−\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\:=\frac{−\mathrm{14}}{\mathrm{10}}\:=−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{−\mathrm{6x}−\mathrm{6}}{\mathrm{2}\sqrt{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{49}}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{3}}{\:\sqrt{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{49}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}×\mathrm{5}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\:=\frac{−\mathrm{5}+\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\:=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{10}}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}} \\ $$