Question Number 144768 by ajfour last updated on 04/Jul/21
$$\:\:{x}^{\mathrm{3}} −{x}−{c}=\mathrm{0} \\ $$$${let}\:\:{x}=\sqrt{{t}+{p}}+\sqrt{{t}+{q}} \\ $$$$\left({t}+{p}\right)\sqrt{{t}+{p}}+\left({t}+{q}\right)\sqrt{{t}+{q}} \\ $$$$+\mathrm{3}\left({t}+{p}\right)\sqrt{{t}+{q}}+\mathrm{3}\left({t}+{q}\right)\sqrt{{t}+{p}} \\ $$$$−\sqrt{{t}+{p}}−\sqrt{{t}+{q}}−{c}=\mathrm{0} \\ $$$${let}\:\:\left({t}+{q}\right)+\mathrm{3}\left({t}+{p}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{4}{t}=\mathrm{1}−\left({p}+{q}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{4}{t}+\mathrm{4}{p}=\mathrm{3}{p}−{q}+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4}{t}+\mathrm{4}{q}=\mathrm{1}−\left({p}−\mathrm{3}{q}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{3}{p}−{q}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−{p}+\mathrm{3}{q}\right)\sqrt{\mathrm{3}{p}−{q}+\mathrm{1}} \\ $$$$−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}{p}−{q}+\mathrm{1}}−\mathrm{8}{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}=\sqrt{\mathrm{3}{p}−{q}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{3}{q}−{p}+\mathrm{1}} \\ $$$${let}\:\:\sqrt{\mathrm{3}{p}−{q}+\mathrm{1}}=−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:{q}=\mathrm{3}{p} \\ $$$$\Rightarrow\:−\mathrm{1}−\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−{p}+\mathrm{3}{q}\right)+\mathrm{4}−\mathrm{8}{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{p}=−\frac{{c}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{2}{x}=−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{8}{c}}{\mathrm{3}}} \\ $$$${x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{2}{c}}{\mathrm{3}}} \\ $$$${for}\:\:{c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$${x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$ \\ $$